Методика моделирования
Классификация моделей
Модели классифицируются по временному признаку и по математическому аппарату. По временному признаку математические модели классифицируют на:
1) статические;
2) динамические.
Статические модели предназначены для описания стационарных процессов, т.е. процессов, которые в явном виде не зависят от времени. Условно-статические модели – статические на отрезках времени.
Динамические модели служат для описания нестационарных процессов, т.е. процессов, которые имеют явную зависимость от времени.
Статические модели бывают:
1) аналитические (уравнение зависимости в явном виде);
2) статические статистические (модели дисперсионного, корреляционного, регрессионного анализа);
3) феноменологические (внешний вид регрессионных моделей, однако коэффициенты проставляет сам специалист).
Динамические модели бывают:
1) детерминированные (аналитические);
2) вероятностные (стохастические).
Динамические детерминированные модели имеют вид обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Стохастические модели имеют вид обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с Винеровской добавкой:
По математическому аппарату математические модели делятся на:
1) детерминированные (аналитические);
2) вероятностные (статистические).
Детерминированные модели могут описываться с помощью аппарата математического анализа конструктивных теорий функций.
Вероятностные модели – могут описываться с помощью теории вероятности, математической статистики и теории случайных процессов.
Статические статистические модели – описывают стационарные процессы методиками регрессионного и дисперсионного анализа, причем регрессионные полиномы имеют вид не более второго порядка.
Статические детерминированные модели – описывают стационарные процессы с помощью теории множеств или аппарата алгебры.
Динамические статистические модели описывают нестационарные процессы с помощью математического аппарата теории случайных процессов и описываются в виде стохастических дифференциальных уравнений.
Динамические детерминированные модели описывают нестационарные процессы в объектах с помощью математического аппарата дифференциальных и интегральных уравнений.
Уравнения в частных производных служат для моделирования в целях исследования объекта. Но для разработки систем оптимального управления объектами такие модели не подходят из-за медленной сходимости метода сеток (метод решения дифференциальных уравнений в частных производных).
При классификации экономико-математических моделей учитываются различные признаки, каждый служит определенной цели. Некоторые типовые группы моделей, которые могут быть положены в основу системы классификации:
• статические и динамические;
• детерминированные и стохастические;
• дискретные и непрерывные;
• линейные и нелинейные;
• балансовые модели;
• имитационные модели;
• модели математического программирования;
• модели, основанные на теории графов;
• модели, основанные на теории вероятностей и математической статистике.
При моделировании сложной системы исследователь обычно исследует совокупность нескольких моделей из числа разновидностей, упомянутых выше. Любая система может быть представлена различными способами, отличающимися по сложности и в деталях. По мере того, как исследователь глубже анализирует и познает проблему, простые модели сменяются все более сложными.
Основой успешной методики моделирования является многоэтапный процесс отработки модели. Обычно начинают с более простой модели, постепенно совершенствуя ее, добиваясь, чтобы она отражала моделируемую систему более точно. До тех пор, пока модель поддается математическому описанию, исследователь может получать все новые ее модификации, детализируя и конкретизируя исходные предпосылки. Когда же модель становится неуправляемой, проектировщик прибегает к ее упрощению и использует более общие абстракции. Процесс моделирования, таким образом, носит эволюционный характер и осуществляется в соответствии со следующими этапами.
Этапы моделирования:
1. анализ проблемы и определение общей задачи исследования;
2. декомпозиция общей задачи на ряд более простых подзадач, образующих взаимосвязанный комплекс;
3. определение четко сформулированных целей и их упорядочение;
4. поиск аналогий или принятие решений о способе построения подмоделей;
5. выбор системы экзогенных и эндогенных переменных, необходимых параметров;
6. запись очевидных соотношений между ними;
7. анализ полученной модели и начало эволюционного конструирования: расширение или упрощение модели.
Упростить модель можно, выполнив одну из перечисленных ниже операций:
• превращение переменных величин в константы;
• превращение вероятностных факторов в детерминированные;
• исключение некоторых переменных или их объединение;
• использование предположений о линейном характере зависимостей между переменными;
• введение жестких исходных предпосылок и ограничений;
• уменьшение количества степеней свободы путем наложения более жестких граничных условий.
Расширение модели предполагает обратное.
Заметим, что не существует надежных и эффективных рецептов относительно того, как следует осуществлять процесс моделирования, поэтому процесс разработки модели зачастую носит эвристический характер, что дает возможность исследователю проявить свои творческие способности.
Творческий характер процесса моделирования определяет разнообразие критериев оценки качества модели. С точки зрения разработчика «хорошей» моделью является нетривиальная, мощная и изящная модель. Нетривиальная модель позволяет проникнуть в сущность поведения системы и вскрыть детали, не очевидные при непосредственном наблюдении. Мощная позволяет получить множество таких нетривиальных выводов. Изящная имеет достаточно простую структуру и реализуемость. С точки зрения пользователей, которые проявляют больше прагматизма при оценке модели, «хорошая» модель — это модель релевантная, точная, результативная, экономичная. Модель является релевантной (от англ. relevance — уместность), если она соответствует поставленной перед ней цели; точной, если ее результаты достоверны; результативной, если полученные результаты дают продуктивные выводы; и экономичной, если эффект от использования полученных результатов превосходят затраты на ее разработку и реализацию.
В любом случае исследователь должен обосновывать необходимость использования конкретно применяемой модели.
Обоснование модели предполагает выполнение следующих процедур:
1. верификация, проведение которой убеждает в том, что модель ведет себя так, как было задумано;
2. оценка адекватности — проверка соответствия между поведением модели и поведением реальной системы;
3. проблемный анализ — формулировка значимых выводов на основе результатов, полученных в ходе моделирования.
Как показывает опыт, наибольшая обоснованность модели достигается:
• использованием здравого смысла и логики;
• максимальным использованием эмпирических данных;
• проверкой правильности исходных предположений и корректности преобразований от входа к выходу;
• применением на стадии доводки модели контрольных испытаний модели, подтверждающих работоспособность модели;
• сравнением соответствия входов и выходов модели и реальной системы (если они доступны) с использованием статистических методов и испытаний типа теста Тьюринга;
• проведением, когда это целесообразно, натурных или полевых испытаний модели или ее подмоделей;
• проведением анализа чувствительности модели по отношению к изменяющимся внешним условиям;
• сравнением результатов модельных прогнозов с результатами функционирования реальной системы, которая подвергалась моделированию.