Показатели оценки качества нелинейных уравнений регрессии

Оценка качества нелинейных уравнений регрессии

Неприводимость к линейной зависимости в случае аддитивного включения регрессионного остатка

До сих пор при изучении линеаризации мы в большинстве случаев отвлекались от случайной компоненты регрессии ε. К сожалению, при использовании логарифмического преобразования включение в модель регрессионного остатка иногда существенно влияет на результат этого преобразования. Рассмотрим это на примере степенной регрессионной модели:

Логарифмируя обе части модели (4.4), невозможно получить двойную логарифмическую модель (4.1) из-за аддитивного (т.е. через сложение) включения случайной компоненты. Вместо этого будет получено выражение ln y = ln (ax^b + ε), которое не подлежит дальнейшему упрощению и преобразованию в линейную функцию. Поэтому здесь нельзя будет использовать линейный МНК.

Однако линеаризации можно подвергнуть степенную регрессионную модель с мультипликативным (через умножение) включением остатка:

Логарифмируя обе части модели (4.5) после замены ln a = α получим линейную по параметрам модель:

Смысл мультипликативного включения остатка заключается в том, что результативный признак подвергается случайным колебаниям не на величину ε, а в случайной пропорции ε, т.е. в ε раз.

Для оценки используются в основном те же основные показатели, что и в линейном случае, но методики их расчета несколько отличаются.

Коэффициент детерминации для нелинейных уравнений рассчитывается следующим образом:

где - остаточная дисперсия;

- общая дисперсия;

y_i – наблюдаемые значения результативного признака;

- среднее наблюдаемое значение;

– значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии;

n – число наблюдений.

Как и в случае линейной регрессии, он может принимать значения от нуля до единицы. Чем ближе индекс детерминации к единице, тем теснее связь между результатом и факторами. Однако, в отличие от линейной регрессии, нелинейный коэффициент детерминации не может быть рассчитан как квадрат линейного коэффициента корреляции.

Путем сравнения нелинейного коэффициента детерминации с квадратом линейного коэффициента корреляции можно обосновать допустимость использования в модели линейной функции. Считается, что если (R² – r_xy² ≤ 0,1), то можно использовать линейную зависимость y от x.

Чтобы оценить значимость коэффициента детерминации, рассчитывают критерий Фишера по формуле (n - число наблюдений; m - число параметров при факторных переменных). Необходимо задать уровень значимости и степени свободы k₁ = m и k₂ = n – m - 1. Если F_факт. ≤ F_табл., то коэффициент детерминации является статистически незначимым; в противном случае его можно считать значимым.

Коэффициент корреляции для нелинейной регрессии рассчитывается по формуле . Принимает значения от 0 до 1.