Відношення між множинами. Геометричне зображення множин

В множині можуть бути виділені підмножини.

Означення. Множина називається підмножиноюмножини , якщо кожен елемент множини належить множині .

Це позначається як () – «включається в » (включає ), де – знак нестрогого включення.

.

Наприклад: , , – – підмножина .

Зауваження. Слід підкреслити відмінність між відношенням належності і відношенням включення . Як вже зазначалося, множина може бути своєю підмножиною , але не може входити до складу своїх елементів (). Навіть у разі одноелементної множини розрізняють саму множину та її єдиний елемент .

Означення. Множини і називаютьсярівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто і .

і .

Приклад. , .

Якщо и , то називається власною, строгою чи істинною підмножиною . Позначення: , де – знак строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини і .

і називаються невласними підмножинами множини .

Для кожної множини існує множина, елементами якої є всі її підмножини.

Означення. Множина, елементами якої є всі підмножини множиниі тільки вони, називається булеаном (або множиною підмножин) множини і позначається . Відносно елементів булеана множина є універсумом. (Тобто, універсальна множина – це множина, підмножинами якої є всі множини, що розглядаються,)

У разі скінченної підмножини , що складається з елементів, булеан містить елементів:

.

Легко побачити, що число елементів булеана залежить від числа елементів универсуму . Наприклад, якщо , то маємо .

Приклад. Розглянемо утворення булеана множини:

:

;

:

.

Перша й остання підмножини невласні, інші – власні.

Порожня множина має властивість: при будь-якому . Універсальна множина має властивість: при будь-якому .Множини і відношення між ними зручно задавати графічно за допомогою так званих діаграм Ейлера-Венна. Діаграми Ейлера-Венна (Джон Венн (1834-1923) англійський логік і математик, професор Кембриджського університету) є геометричним зображенням множин. Множина зображується замкненою кривою довільної форми (найчастіше – кругом). Точки, які лежать всередині замкненої кривої, можна розглядати як елементи відповідної множини.

Наприклад:

Універсум на діаграмах Ейлера-Венна зображується у вигляді прямокутника.

Діаграму Ейлера-Венна можна розглядати як окремий випадок задання множини переліком його елементів. В цьому випадку всередині діаграми Ейлера-Венна можуть бути зображені символічні позначення елементів.

Наприклад: На наступній діаграмі Ейлера-Венна задані множини , в універсумі :