Граница области D.

X

X

Y

X

Рис.2

bk=0,

a0=;

Получаем ряд: f(x)=+(akcoskx + bksenkx)

.

2.3.Ряд Фурье для функции с периодом 2ℓ.

Пусть f(x) определена на отрезке [-ℓ, ℓ] ,имеет период2ℓ ,отличающийся от 2π

(где ℓ-произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям

Дирихле. Разложим ее в ряд Фурье. Сделаем замену переменной по формуле:

.

Функция определена на отрезке [-π,π]и имеет период 2π.

Разложение ее в ряд Фурье имеет вид:

, (2.1)

где a0=; ; (k=0,1,2...).

Возвратимся теперь к старой переменной x:

; ;

Тогда имеем: a0=; ; . (2.2)

Формула (2.1) получит вид (ряд Фурье для периодической функции с периодом 2ℓ):

,

где коэффициенты a0,ak,bk вычисляются по формулам(2.2).

Теоремы,которые имели место для рядов Фурье 2π-периодических функций

,остаются в силе и для рядов Фурье функций с периодом 2ℓ.

ПРИМЕР. Разложить в ряд Фурье функцию периодическую с периодом 2ℓ, определенную

на отрезке [-ℓ,ℓ] :

f(x) = I x I.

Вычислимкоэффициенты Фурье,учитывая ,что функция четная.

 
 


Рис.3

Для четной функции: bk=0, ,

Таким образом .

2.4.Ряд Фурье для непериодических функций.

Пусть у=f(х) – непериодическая функция,заданная на всей числовой оси.

Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье,однако непериодическая функция

f(х) может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке [а,b],

на котором она удовлетворяет условию Дирихле.Для этого можно поместить начало

координат в середину отрезка [а,b] и построить функцию периода Т=2l=такую,

что при (Рис. 4).

У

y=f(x)

-l l

О а b X

Рис.4.

Разлагаем функцию в ряд Фурье.Сумма этого ряда во всех точках отрезка

[а,b](кроме точек разрыва)совпадает с функцией f(х) ,вне этого промежутка сумма ряда и

f(х) являются совершенно различными функциями.

Пусть теперь непериодическую функцию f(х) требуется разложить в ряд Фурье

на отрезке [0,ℓ] (это частный случай: начало координат перенесено в точку х=а отрезка [а,b]).

Функцию можно доопределить произвольным образом на отрезке [-ℓ,0] и продолжить

ее с периодом Т=2l.

В частности,если доопределить функцию на отрезке [-ℓ,0]четным образом

(т.е. f(х)= f(-х)),то функцияf(х) разлагается в ряд Фурье,который содержит только

косинусы(Рис.5).

Если же продолжить функцию f(x) на отрезок [-ℓ,0]нечетным образом,

то функцияf(х) разлагается в ряд Фурье,который содержит только синусы(Рис.6).

Ряд косинусов и ряд синусов для функции f(x) ,заданной на отрезке [0,ℓ] , имеют одну и ту же сумму.

 

y y

       
   
 
 

 

 


 

 

-ℓ0 ℓ x -ℓ0 ℓ x

 

Рис.5 Рис.6

ПРИМЕР. Пусть надо разложить f(x) на отрезке [0,π]

в ряд синусов f(x)=x, 0<x≤π.

Функция удовлетворяет на (0,π)условиям Дирихле.Продолжая эту функцию

нечетным образом,получим:

y

 
 


-3π -π π 3π

-4π -2π 0 2π 4π x

Рис.7

 

.

 

ПРИМЕР разложить на отрезке [-π,0] в ряд косинусов.

Функция удовлетворяет на (0,π)условиям Дирихле.Продолжая эту функцию

четным образом,получим:

у

 
 


Рис.8

Итак: bk=0; ;

Глава 13.КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

§1.Двойной интеграл.

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

у

Di

D

 

 

О x

Рис.1

 

Пусть в замкнутой области Dплоскости OXY задана непрерывная функция z= f(x,y).Разобьем область D на n «элементарных областей» Di (i=1,2…n) площади которых обозначим через ∆s1, ∆s2, ∆s3,… ∆sn,

а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) – через di . В каждой области Diвыберем произвольную точку Рi ,получим n точек P1 , P2 , P3 , …, Pn.

f(P1) , f(P2) , f(P3) ,… f(Pn) - значение функции в этих точках, составим сумму произведенийf(Pi)·∆si :

называемой интегральной суммой функции f(x,y) в области D.

 

Рассмотрим предел интегральной суммы ,когда nk→∞ таким образом,что

тах di→0.

Определение.Если существует предел множества сумм произведений f(Pi)*∆si ,

при наибольшем диаметре областей элементарных ∆si стремящихся к нулю (тах di→0)

и при n→∞ и не зависит отспособа разбиения области D на части,ни от выбора точек

в них,то говорим,что f(x,y) является интегрируемой в области D и предел ее

называется двойным интегралом функцииf(х,у) в области Dи обозначается

или .

Таким образом,двойной интеграл определяется равенством

. (1.1)

 

ТЕОРЕМА(достаточное условие интегрируемости функции).Если функцияz=f(x,y)

непрерывна в замкнутой области D,то она интегрируема в этой области.

 

Замечания: 1).Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования,хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

2).Из определения двойного интеграла следует,что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области.Таким образом,мы можем разбивать область на площадки прямыми,параллельными координатным осям.При этом ∆si=∆хi* ∆yi, равенство (1.1) можно записать в виде: .

 

Геометрический смысл двойного интеграла.Если функция f(x,y)≥0,то двойной интеграл f(x,y) в области D равен обьему Q тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), снизу – замкнутой областью D плоскости Оху и,сбоков – цилиндрической поверхностью,образующая которой параллельна оси OZ ,а направляющей служит