Исторический очерк

Примеры использования

Теорема

Определение

Эквивалентные величины

Примеры сравнения

· При величина x5 имеет высший порядок малости относительно x3, так как . С другой стороны, x3 имеет низший порядок малости относительно x5, так как .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x5 = o(x3).

· то есть при функции f(x) = 2x2 + 6x и g(x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи 2x2 + 6x = O(x) и x = O(2x2 + 6x).

· При бесконечно малая величина 2x3 имеет третий порядок малости относительно x, поскольку , бесконечно малая 0,7x2 — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ( ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

·

·

·

·

· , где a > 0;

·

· , где a > 0;

·

·

· , поэтому используют выражение:

, где .

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

· Найти

Заменяя sin 2x эквивалентной величиной 2x, получаем

 

· Найти

Так как при получим

 

· Вычислить .

Используя формулу: , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: , таким образом ошибка составила: 0,00455, то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (положительной) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем — в его интегрировании.

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок»; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Споры в Парижской Академии наук по вопросам обоснования анализа приобрели настолько скандальный характер, что Академия однажды вообще запретила своим членам высказываться на эту тему (в основном это касалось Ролля и Вариньона). В 1706 году Ролль публично снял свои возражения, однако дискуссии продолжались.

В 1734 году известный английский философ, епископ Джордж Беркли выпустил нашумевший памфлет, известный под сокращённым названием «Аналист». Полное его название: «Аналист или рассуждение, обращённое к неверующему математику, где исследуется, более ли ясно воспринимаются или более ли очевидно выводятся предмет, принципы и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры».

«Аналист» содержал остроумную и во многом справедливую критику исчисления бесконечно малых. Метод анализа Беркли считал несогласным с логикой и писал, что, «как бы он ни был полезен, его можно рассматривать только как некую догадку; ловкую сноровку, искусство или скорее ухищрение, но не как метод научного доказательства». Цитируя фразу Ньютона о приращении текущих величин «в самом начале их зарождения или исчезновения», Беркли иронизирует: «это ни конечные величины, ни бесконечно малые, ни даже ничто. Не могли ли бы мы их назвать призраками почивших величин?.. И как вообще можно говорить об отношении между вещами, не имеющими величины?.. Тот, кто может переварить вторую или третью флюксию [производную], вторую или третью разность, не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии».

Невозможно, пишет Беркли, представить себе мгновенную скорость, то есть скорость в данное мгновение и в данной точке, ибо понятие движения включает понятия о (конечных ненулевых) пространстве и времени.

Как же с помощью анализа получаются правильные результаты? Беркли пришёл к мысли, что это объясняется наличием в аналитических выводах взаимокомпенсации нескольких ошибок, и проиллюстрировал это на примере параболы. Как ни странно, некоторые крупные математики (например, Лагранж) согласились с ним.

Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым — выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен. Особенно часто путали бесконечно малое приращение функции и его линейную часть.

В течение всего XVIII века предпринимались грандиозные усилия для исправления положения, причём в них участвовали лучшие математики столетия, однако убедительно построить фундамент анализа удалось только Коши в начале XIX века. Он строго определил базовые понятия — предел, сходимость, непрерывность, дифференциал и др., после чего актуальные бесконечно малые исчезли из науки. Некоторые оставшиеся тонкости разъяснил позднее Вейерштрасс. В настоящее время термин «бесконечно малая» математики в подавляющем большинстве случаев относят не к числам, а к функциям или последовательностям.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине XX века нестандартного анализа, который доказал, что первоначальная точка зрения — актуальные бесконечно малые — также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа. С появлением нестандартного анализа стало ясно, почему математики XVIII века, выполняя незаконные с точки зрения классической теории действия, тем не менее получали верные результаты.