Непрерывность функции.
Следствия из второго замечательного предела.
Второй замечательный предел.
Первый замечательный предел
Первый и второй замечательный предел.
Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
Теорема 1. Теорема о «двух милиционерах».
Пусть заданы 3 функции f(x), j(x), g(x) такие, что f(x)£j(x)£g(x). Тогда если
Док-во: Вычтем А из всех частей неравенства f(x)£j(x)£g(x):
f(x)-A£j(x)-A£g(x)-A.
По теореме о представлении функции, имеющей предел: f(x)=A+a(x), g(x)=A+b(x), где a(x) и b(x) являются б/м. Между двумя б/м может находиться только б/м Þ по теореме о представлении функции, имеющей предел: .
Ч.т.д.
Теорема 2: Пусть функция f(x)³0 и существует конечный предел . Тогда A³0.
Док-во: Предположим противное: A<0. Тогда окрестность точки A лежит по оси ОY ниже начала координат. Þ В этой окрестности f(x)<0, чего быть не может.
Ч.т.д.
Теорема 3: Если f(x)³g(x) и
Док-во: Из неравенства f(x)³g(x) Þ f(x)-g(x)³0. По предыдущей теореме и арифметическим операциям Þ A³B.
Ч.т.д.
Доказательство:
Рассмотрим единичную окружность и отложим бесконечно малый угол x.
х |
у |
А |
В |
С |
х |
Очевидны следующие неравенства:
Вернемся к неравенствам:
Перейдем к обратным выражениям:
Левая часть неравенства 1 1, т.к.
Правая часть неравенства
По теореме «о двух милиционерах»:
Аналогично при х<0:
Вместо x может быть любая б/м при х х0, тогда
Ч.т.д.
Пример:
1)
2)
3)
Доказательство:
Вспомним число как предел числовой последовательности:
I случай.
Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть числа х.
n х<n+1.
Перейдем к обратному выражению:
Возведем в степень:
Вычислим предел левой и правой части двойного неравенства:
По теореме «о двух милиционерах»:
II случай.
Пусть х<-1: проведем аналогичные рассуждения и сделаем замену –х=y, получим:
.
Ч.т.д.
Второй замечательный предел для функций:
Пример:
1) =
2) =
1.
Док-во:
Ч.т.д.
2.
Частный случай:
3.
Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности.
Определение 1: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и .
Dx=x-x0 – приращение аргумента, Dy=f(x)-f(x0)=f(x0+Dx)-f(x0) – приращение функции.
Определение 2: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции, т.е. .
Определение 3: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке, оба односторонних предела существуют, конечны, равны между собой и равны значению функции в этой точке, т.е. .
Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойства непрерывных функций.
1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией.
Док-во:
Докажем непрерывность суммы непрерывных функций.
Пусть f(x) и φ(x) непрерывны.
По первому определению непрерывности: , .
Рассмотрим
по первому определению сумма непрерывна в точке х0.
Непрерывность произведения и частного непрерывных функций доказывается аналогично.
Ч.т.д.
2. У непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами.
Если f(x) ‒ непрерывная функция, то .
Док-во: По первому определению непрерывности
.
Ч.т.д.
3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения. y=xn, y=sin x, y=ex,…
Док-во:
а) y=const.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
Тогда функция получит приращение:
.
, т.к. .
По второму определению непрерывности y=const непрерывна в своей области определения.
б) y=x.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
.
По второму определению непрерывности:
.
y=x непрерывна в своей области определения.
в) y=sinx.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
По второму определению непрерывности:
0 cosx
как произведение б/м на ограниченную функцию. y=sinx непрерывна при .
Ч.т.д.
4. Пусть функция x=x(t) непрерывна в точке t0. Пусть функция y=y(x) непрерывна в точке x0, где x0=x(t0) . Тогда сложная функция y=y(x(t)) непрерывна в точке t0.
Док-во:
Тогда по первому определению сложная функция непрерывна в точке х0.
Ч.т.д.
16.Точки разрыва и их классификация.
Определение: Точка x0, в которой нарушается условие непрерывности функции, называется точкой разрыва этой функции.
Функция терпит в точке x0 разрыв, если .
Существует три типа точек разрыва:
1. | Точка x0 называется точкой устранимого разрыва, если функция y=f(x) неопределена в точке x0 и . Разрыв можно устранить доопределив функцию в точке x0. | ||||
2. | Точка х0 – точка разрыва первого рода (скачок), если , a¹b. |
| |||
3. | Точка х0 – точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен ¥ (бесконечный разрыв). |