Основные понятия и определения
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть – функция двух переменных и D – область на плоскости XOY , ограниченная замкнутой линией L (рис. 4).
Рис. 4
Выполним следующие действия:
- разобьем область D на n площадок с площадями ;
- внутри каждой i - той площадки выберем произвольную точку , тогда - значения функции в выбранных точках ;
- составим сумму произведений вида
. (4)
Сумма (4) называется n-ой интегральной суммойдля функции двух переменных в области D. Если в D, то геометрически выражению (4) соответствует объем некоторого ступенчатого тела. Диаметром плоской областиназывается наибольшее расстояние между точками границы области.
Устремим количество площадок в (4) к бесконечности, а диаметр каждой площадки к нулю, в этом случае будет справедлива следующая теорема:если функция непрерывна в замкнутой области D, то существует предел n - ных интегральных сумм (4), когда n стремится к бесконечности, а диаметр каждой частичной площадки стремится к нулю. Этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на площадки , ни от выбора положения точек внутри частичных площадок разбиения. Этот предел называется двойным интеграломот функции по области интегрирования D:.