Основные понятия и определения

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть – функция двух переменных и D – область на плоскости XOY , ограниченная замкнутой линией L (рис. 4).

Рис. 4

Выполним следующие действия:

- разобьем область D на n площадок с площадями ;

- внутри каждой i - той площадки выберем произвольную точку , тогда - значения функции в выбранных точках ;

- составим сумму произведений вида

. (4)

Сумма (4) называется n-ой интегральной суммойдля функции двух переменных в области D. Если в D, то геометрически выражению (4) соответствует объем некоторого ступенчатого тела. Диаметром плоской областиназывается наибольшее расстояние между точками границы области.

Устремим количество площадок в (4) к бесконечности, а диаметр каждой площадки к нулю, в этом случае будет справедлива следующая теорема:если функция непрерывна в замкнутой области D, то существует предел n - ных интегральных сумм (4), когда n стремится к бесконечности, а диаметр каждой частичной площадки стремится к нулю. Этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на площадки , ни от выбора положения точек внутри частичных площадок разбиения. Этот предел называется двойным интеграломот функции по области интегрирования D:.