Ряд Тейлора.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ.
План лекции
ЛЕКЦИЯ 7
1. Ряд Тейлора.
2. Ряд Лорана.
3. Типы особых точек.
4. Особые точки и вид ряда Лорана.
5. Понятие вычета.
Теорема 10. Если функция f(z) аналитична в круге , то она в этом круге может быть представлена рядом Тейлора:
, где - коэффициент ряда разложения.
, где n=0, 1, 2…
В любой замкнутой области, принадлежащей этому открытому кругу, ряд Тейлора сходится равномерно.
Точка а – центр разложения, R – радиус сходимости.
2. Ряд Лорана.
Будем предполагать, что функция f(z) аналитична в кольце К: .
Рис. 1
Теорема 11. Если функция f(z) аналитична в кольце К, то она в этом кольце может быть представлена рядом Лорана:
, где
- любой замкнутый контур, лежащий целиком в кольце К и охватывающий точку а, которая является центром разложения.
Ряд Лорана можно получить, расширяя ряд Тейлора в область отрицательных значений n, n <0.
Сумма членов ряда Лорана, содержащих отрицательные степени называются главной частью ряда Лорана. Сумма членов ряда Лорана, содержащих положительные степени называется правильной частью ряда Лорана.
Ряд Лорана (а) сходится в области, в которой сходятся ряды (б) и (в). Пусть ряд Тейлора сходится в круге , ряд (б) сходится вне круга
, тогда если r>R, то ряд Лорана расходится, если r<R, то сходится в кольце К.
Пример.
Рассмотрим разложение функции f(z).
. Выберем в качестве центра разложения точку z=0.
1) Функция f(z) аналитична в круге . В соответствии с теоремой 10 она может быть представлена рядом Тейлора: .
Рис. 2
2) Функция f(z) аналитична в кольце . По теореме 11 она может быть представлена рядом Лорана:
,
3) Функция f(z) аналитична в кольце . По теореме 11 она может быть представлена рядом Лорана:
,
ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ВИД РЯДА ЛОРАНА.
Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если найдется окрестность точки а, в которой функция f(z) аналитична и аналитичность нарушается при переходе к самой точке.
Более точное определение:
Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если найдется кольцо К, вида , в котором функция f(z) аналитична и аналитичность не имеет места в самой точке.
Различают три типа изолированных особых точек:
1. изолированная особая точка а называется устранимой, если существует .
Пример.
z=0 – устранимая изолированная особая точка функции , т. к.
Название устранимая особая точка оправдывается тем, что особенность функции в этой точке можно устранить, если положить
2. изолированная особая точка а называется полюсом, если функция f(z) неограниченно возрастает при .
Пример.
z=3 – полюс точка функции .
Каждый полюс а функции f(z) является нулем а функции .
Порядком полюса а функции f(z) называют порядок нуля а функции
Говорят, что точка а является нулем функции порядка m, если .
Пример.
z=3 – полюс третьего порядка функции .
3. изолированная особая точка а называется существенно особой, если не существует .
Пример.
z=0 - существенно особая точка функции
рис. 1
По определению изолированной особой точки существует кольцо
К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана:
Сумма членов ряда Лорана, содержащих отрицательные степени называются главной частью ряда Лорана. Сумма членов ряда Лорана, содержащих положительные степени называется правильной частью ряда Лорана.
Могут иметь место три случая:
1) ряд Лорана содержит только правильную часть
Тогда , т. е. точка а –устранимая особая точка.
2) ряд Лорана содержит конечную главную часть
Представим:
Можно видеть, что
Точка а – является полюсом функции f(z). В ТФКП, доказывается, что порядок полюса совпадает с числом членов в главной части ряда Лорана.
3) ряд Лорана содержит бесконечную главную часть
В ТФКП, доказывается, что точка а– является существенно особой точкой функции f(z).
Пусть точка а –изолированная особая точка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана по степеням . В этом разложении особую роль играет коэффициент ,(коэффициент при сомножителе ), который называется вычетом функции f(z) в точке z=a и обозначается Res
ЛЕКЦИЯ 8
План лекции
1. Теорема о вычетах.
2. Основные формулы вычета в полюсе.
3. Примеры на применение теоремы о вычетах.
ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ.
Пусть точка а –изолированная особая точка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана: (1)
Обозначим замкнутый контур целиком лежащий в кольце К и охватывает точку а. Вычислим интеграл:
Рассмотрим интеграл . Выделим три случая:
1) , (по теореме 7)
2) , Res.
3) , (по формуле Коши для высших производных)
Пояснение: формула Коши для высших производных
Заменим в формуле Коши на z, z на а
Получили равенство: Res (2)
Теорема 12.(теорема о вычетах) Если функция f(z) аналитична в односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек и непрерывна на границе c одласти D, то
Res
Доказательство:
Выделим особые точки из области D с помощью замкнутых контуров . Контура выбираются таким образом, чтобы они не пересекались друг с другом и контуром с.
Рис. 1
Получим (n+1) связанную область, ограниченную с и (к=1, 2,…n), в которых функция f(z) аналитична. По теореме 9: (3).
В соответствии с равенством (2): Res(4)
Подставляя (4) в (3), получим: Res.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧЕТОВ В ПОЛЮСЕ.
1. Найдем вычет Res, полагая, что функция f(z) аналитична в точке а. Обозначим через с замкнутый контур, целиком лежащий в области аналитичности функции f(z) и охватывающий точку а. По теореме о вычетах:
Res
По формуле Коши:
Из сравнения полученных результатов следует Res
2. Найдем Res , полагая, что функция f(z) аналитична в точке а. По теореме о вычетах: Res
С другой стороны по формуле Коши для производных:
Из сравнения полученных формул следует
Res
3. Общая формула вычета в полюсе первого порядка.
Пусть а – полюс первого порядка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана:
Перейдем к пределу при в последнем выражении:
Res
Res
4. Найдем Res, полагая, что
При выписанных условиях точка а является полюсом первого порядка функции . Воспользуемся полученным в предыдущем пункте выражением.
Res
. Получим формулу
Resпри
5. Общая формула вычета в полюсе порядка m.
Пусть а – полюс порядка m функции f(z). Выпишем соответствующий этому полюсу ряд Лорана:
Продифференцируем последнее выражение (m-1) раз
Перейдем к пределу
Res
Получим следующие формулы вычетов в полюсе
Res
Res
Res,
Res(Общая формула вычета в полюсе первого порядка)
Res(Общая формула вычета в полюсе порядка m)
Пример 1.
, с:
рис. 1
(3 формула вычета)
Пример 2.
, с:
рис. 2
- являются полюсами первого порядка.
Правило определения порядка полюса: нужно из порядка нуля знаменателя вычесть порядок нуля числителя.
Аналогичным образом легко показать, что , поэтому