Формула конечных приращений

Если т. a=x, b=x+Δx отрезок [x; x+Δx], то по теореме Лагранжа

,

где .

Или, учитывая, что , , получим

 

формула конечных приращений.

 

Note Формула конечных приращений часто применяется в математике при различных доказательствах. Однако следует помнить, что где именно расположена точка с, теорема Лагранжа (к сожалению!) не дает ответа. Единственно, что следует из теоремы, это т. .

 

 

7.4. Теорема Коши[16]

 

Т. (Теорема Коши) Пусть две функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b) и производная на (a;b). Тогда, .

 

Proof:

 

Чтобы воспользоваться теоремой Роля (см. п. 7.2) введем вспомогательную функцию

.

 

Очевидно, что , . Тогда по теореме Роля .

Производная

.

 

В т. , т.е.

.

 

Откуда , ч.т.д.

 

7.5. Правило Лопиталя[17]. Раскрытие неопределенностей

 

Т. (Теорема Лопиталя) Пусть две функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [x0; x] и дифференцируемы на интервале (x0; x), причем . Пусть и . Тогда, если существует то , причем .

Proof:

По теореме Коши , где .

По условию теоремы и , т.е. .

Тогда при (по теореме о сжатой переменной) .

 
 

 

 


Или .

 

Пусть , тогда при , т.о. символ «с» можно заменить на символ «x», т.е. если

.

 

 

Note 1 Если рассмотреть отрезок [x; x0] и провести аналогичное доказательство, то все рассуждения справедливы при . Поэтому в дальнейшем будем писать .

 

Note 2 Пусть в т. и , тогда справедливы все выводы теоремы Лопиталя.

 

Note 3 Т.о., если или , то справедливо «Правило Лопиталя».

 

– Правило Лопиталя,

причем, следует иметь ввиду, что его необходимо читать «справа-налево», т.е. если существует предел отношения производных, то существует предел отношения функций и эти пределы совпадают.

 

 

Ex.1.

 

Ex.2.

Ex.3.

 

Пусть , тогда

Т.о., , откуда

 

.

 

7.6. Многочлен Тейлора[18] и Маклорена[19]. Остаточный член в форме Пеано и Лагранжа

 

Т. Пусть функция y=f(x) определена и (n+1) раз дифференцируема в некоторой окрестности т. . Тогда справедлива формула Тейлора: . Или более кратко – формула Тейлора.  

Proof:

 

Пусть .

Пусть – многочлен n-й степени, – неизвестные константы.

Тогда .

 

Пусть выполняется (n+1)-е условие:

,

,

,

………………..

.

 

Напомним, что

.

 

1. Пусть х=х0, тогда

 

 

или

.

 

Вычислим производную от многочлена Pn(x).

.

 

2. Пусть х=х0, тогда

или

.

Вычислим производную 2-го порядка от Pn(x).

.

 

3. Пусть х=х0, тогда

.

Продолжая этот процесс, вычисляя производные 3-го, 4-го, 5-го, …, n-го порядка, и, подставляя вместо , получим

, , …, .

Подставляя эти значения констант в формулу для многочлена Pn(x), получим

.

Докажем, что

или

,

 

т.е.

.

 

Note 1 Дома или на практическом занятии (применяя n раз правило Лопиталя) доказать, что

 

Note 2 Т.о. мы получили формулу Тейлора     с остаточным членом в форме Пеано[20].

 

Note 3 Дома или на практическом занятии (применяя n+1 раз теорему Коши) доказать, что где

Т.о., – формула Тейлора

 

с остаточным членом – в форме Лагранжа.

 

Note 4 Если в формуле Тейлора положить x0 = 0 !!!, то получим формулу Маклорена Или более кратко – формула Маклорена.

 

Note 5 Дома или на практическом занятии получить формулы Маклорена для элементарных функций 1.   2.   3.   4.   5.  

 

 

ГЛАВА 8. Исследование функций с помощью производных