Сильное секвенциальное равновесие.
Секвенциальные равновесия и равновесия Нэша.
Интуитивно ясно, что понятие секвенциального равновесия является усилением понятия равновесия по Нэшу. Во всяком случае, мы видели в примере, что не всякое равновесие Нэша может быть поддержано системой вер до секвенциального.
Скажем точнее. Пусть а - профиль поведенческих стратегий, образующий равновесие Нэша. Тогда правило Байеса однозначно определяет веры fi(h) в тех информационных множествах, которые достижимы (при стратегиях а) с положительной вероятностью (лежат на пути игры). Тогда стратегии, а секвенциально рациональны в таких информационных множествах и при таких верах. В самом деле, в противном случае игрок, делающий ход в h7 мог бы получить больший (условный, в ’’подыгре”, начинающейся в К) выигрыш, изменив стратегии в этой подыгре.
Обратно, пусть а - профиль поведенческих стратегий, секвенциально рациональных в информационных множествах, лежащих на пути игры. Мы утверждаем, что а - равновесие Нэша. В самом деле, представим, что некоторый игрок / может улучшить результат, применив альтернативную стратегию е'. Но тогда он должен сыграть лучше сг* в некотором своем информационном множестве h. Нужно взять самое первое такое множество; так как до него стратегии не менялись, то не менялись и веры. Но в таком случае стратегия Oi была не секвенциально рациональной в этом h.
Теорема. Профиль поведенческих стратегии, а является равновесием Нэша тогда и только тогда., когда найдется такая система вер fi, что:
(1) система fi слабо согласована с профилем а;
(2) профиль а секвенциально рационален (при верах n) во всех информационных множествах, лежащих на пути игры.
Отсюда можно сделать два важных вывода. Первый - вдоль пути игры (где веры однозначно определяются правилом Байеса) равновесные стратегии секвенциально рациональны. Второй - секвенциальная рациональность усиливает равновесность (по Нэшу) тем, что требует секвенциальную рациональность не только вдоль равновесного пути, но и во всех остальных информационных множествах. Этим она сближается с требованием совершенства относительно подыгр. И действительно, из приведенного выше предложения легко получить, что любое секвенциальное равновесие совершенно к подыграм.
В сильном секвенциальном равновесии мы более строго подходим к формированию вер в информационных множествах, лежащих вне пути игры. Рассмотрим пример, апеллирующий к структурной состоятельности. Пусть игра имеет вил
И пусть первый играет и. Каковы могут быть веры у 2-го? Так как 1-й не различает эти состояния (правое и левое), он и отклоняться в них должен одинаково. Поэтому естественно считать, что веры 2-го - это .2 и .8.
Дадим теперь общее определение сильной согласованности вер со стратегиями. Поведенческий профиль о называется вполне смешанным, если любая позиция достигается с положительной вероятностью. В этом случае правило Байеса однозначно определяет согласованную с а систему вер ц(а).
Определение. Система вер ц называется сильно согласованной с профилем стратегий а, если существует последовательность вполне смешанных стратегических профилей ап, такая что оп сходится к а, а. соответствующие веры ц,п = ц,{оп) сходятся к ц„
Секвенциальное равновесие - это пара (а, ц), что ц сильно согласована с а, а, а секвенциально рациональна относительно ц„
Следующий пример демонстрирует слабое секвенциальное равновесие, которое не сильное секвенциальное. Пусть третий игрок верит, что реализуется левая вершина в его информационном множестве. Такая вера вместе со стратегиями (R, А, г) является слабым секвенциальным равновесием. Однако оно не является сильным секвенциальным равновесием, потому что вера третьего, сильно согласованная со стратегиями R и А, указывает на правую вершину в информационном множестве 3. Сильным секвенциальным равновесием (единственным?) здесь будет (И. I). /).
Теорема.Любая конечная игра имеет сильное секвенциальное равновесия.
Отметим также, что даже сильные секвенциальное равновесия не всегда исключают слабо доминирующие стратегии.
Вопросы для самоконтроля:
1. Дайте определение секвенциального равновесия? Приведите примеры.
2. Дайте определение слабого секвенциального равновесия? Приведите примеры.
3. Дайте определение сильного секвенциального равновесия? Приведите примеры.
Список литературы
Основная:
- Оуэн Г. Теория игр. Учебное пособие. Санкт-Петербург: ЛКИ, 2008 – 229 с.
- Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения: Учебное пособие. М.: Лань, 2010
- Губко М.В., Новиков Д.А Теория игр в управлении организационными процессами [Электронный ресурс]: Учебное пособие. М.: Наука, 2005 – 138 с.
- Даниловцева Е.Р., Теория игр: основные понятия: текст лекций [Электронный ресурс]. Санкт-Петербург: СПбГУАП, 2003 – 36 с.
- Коковин С.Г., Лекции по теории игр [Электронный ресурс]. Новосибирск: Типография НГУ, 2010 г. – 91 с.
Дополнительная:
- Самаров К.Л. Элементы теории игр [Электронный ресурс]. Учебное пособие. Новосибирск: Типография НГУ, 2010 г. – 91 с.
- Волков Ю.И., Волков А.Ю. Теория игр [Электронный ресурс]. Тюмень, ТГИМЭУП, 2002.
- Захаров С.Д. Курс теории игр [Электронный ресурс]. Тюмень, ТГИМЭУП, 2002.
4. Данилов В.И. Лекции по теории игр [Электронный ресурс]. КЛ/2002/001. М.: РЭШ, 2002.-192 с.