Метод Гаусса.
Метод Гаусса - это универсальный метод исследования и решения произвольных систем линейных уравнений. Он состоит в приведении системы к диагональному (или треугольному) виду путем последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований, не нарушающих эквивалентности систем. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении системы с коэффициентом 1.
Элементарными преобразованиями системы являются:
- умножение уравнения на число, отличное от нуля;
- сложение уравнения, умноженного на любое число, с другим уравнением;
- перестановка уравнений;
- отбрасывание уравнения 0 = 0.
Элементарные преобразования можно совершать не над уравнениями, а над расширенными матрицами получающихся эквивалентных систем.
Пример.
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:
.
Выполняя элементарные преобразования, приведем левую часть матрицы к единичному виду: на главной диагонали будем создавать единицы, а вне ее - нули.
Замечание. Если при выполнении элементарных преобразований получено уравнение вида 0 = к (где к
0), то система несовместна.
Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных можно оформлять в виде таблицы.
Левый столбец таблицы содержит информацию об исключенных (базисных) переменных. Остальные столбцы содержат коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.
В исходную таблицу записывают расширенную матрицу системы. Далее приступают к выполнению преобразований Жордана:
1. Выбирают переменную 
, которая станет базисной. Соответствующий столбец называют ключевым. Выбирают уравнение, в котором эта переменная останется, будучи исключенной из других уравнений. Соответствующую строку таблицы называют ключевой. Коэффициент 
, стоящий на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называют ключевым.
2. Элементы ключевой строки делят на ключевой элемент.
3. Ключевой столбец заполняют нулями.
4. Остальные элементы вычисляют по правилу прямоугольника. Составляют прямоугольник, в противоположных вершинах которого находятся ключевой элемент и пересчитываемый элемент; из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитают произведение элементов другой диагонали, полученную разность делят на ключевой элемент.
Пример.Найти общее решение и базисное решение системы уравнений:
