Плоские кривые линии. Касательная, нормаль, кривизна

Общие сведения

Кривые линии

Контрольные вопросы

1. Что называется многогранником?

2. Какие многогранники называются выпуклыми?

3. Что называется правильными многогранниками?

4. Что называется числом Эйлера многогранника?

5. Как решаются задача на построение сечения многогранника проецирующей плоскостью?

6. Схема решения задачи на пересечение многогранника прямой линией?

7. Как решается задача на построение сечения многогранника плоскостью общего положения?

Кривая линия – это геометрическое место последовательных положений точки, непрерывно движущейся в пространстве. Кривые линии применяются при конструировании форм различных поверхностей, определяют очертания различных инженерных конструкций и сооружений (кулачки, профили зубьев, элементы строительных конструкций и т.д.), задают траектории движения звеньев машин и механизмов, являются образующими различных поверхностей технических форм (своды, купола и т.д.).

Кривые, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные – пространственными.

Образуются кривые линии различными способами:

· как траектория точки геометрического образа при его перемещении;

· как линия пересечения криволинейной поверхности плоскостью или другой поверхностью;

· как множество точек, обладающих определенными свойствами.

Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют ее определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.

Способы задания кривых линий могут быть разными:

· аналитический – кривая задана математическим уравнением;

· графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;

· табличный– кривая задана координатами последовательного ряда ее точек.

Закономерные кривые линии разделяют на алгебраические и трансцендентные.

Плоская кривая линия называется алгебраической, если в ее уравнении f(x;y)=0 функция f(x;y) является степенным многочленом относительно x и y; в остальных случаях кривая называется трансцендентной.

Степень алгебраического уравнения соответствует порядку кривой линии. Геометрический порядок линии определяется наибольшим числом точек пересечения кривой линии с прямой (для плоской линии) или с плоскостью (для пространственной линии).

В начертательной геометрии при решении задач используется только графический способ задания. Поэтому при ином способе задания переходят к комплексному чертежу линии, используя ее, аналитическое или графическое описание.

Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом из положений должна иметь определенное направление движения, которое указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.

Длину отрезка кривой (плоской или пространственной) можно определить на комплексном чертеже приближенно, заменяя ее ломаной, состоящей из отдельных прямых, вписанной в кривую линию. На рис. 105 приведено определение длины отрезка кривой AB.

Рис. 105

Кривую линию разбивают на небольшие участки, достаточно точно заменяющие кривую. Затем спрямляют горизонтальную проекцию, располагая горизонтальные проекции на оси X или параллельно ей. Перенося фронтальные проекции точек участков линии параллельно оси Х до пересечения с линиями связи, определяют истинные величины каждого участка ломаной. После спрямления ломаной [A₂^оB₂^о] в любом месте чертежа получают приближенную длину отрезка кривой линии [A^оB^о].

Точность определения длины линии зависит от количества участков ломаной, аппроксимирующей кривую.

Особый интерес представляют окружность и цилиндрическая винтовая линия, каждая из которых является, соответственно, эталоном простых и пространственных кривых линий. В практике конструирования линий и поверхностей широко используются составные кривые – обводы. Это – кривые, составленные из дуг различных кривых, определяемых парами смежных точек.

Плоская кривая линия (a) построена в плоскости S (рис. 106).

Касательной к плоской кривой линии в некоторой точке называют предельное положение секущей, когда две общие точки пересечения, стремясь друг к другу, совпадают. В общем случае касательная может занять разное положение в зависимости от того, в какую сторону поворачивается секущая относительно некоторой неподвижной точки кривой. Поэтому для характеристики точек плоской линии принято использовать полукасательные.

На рис. 106 показано образование полукасательной t¹, когда точка A на секущем луче [MA] перемещает-

ся к неподвижной точке M. Предельное положение

Рис. 106 секущей называют полукасательной t¹.

Аналогично получают другую полукасательную t² при перемещении точки B второго секущего луча [MB] к точке M.

Кривая линия в точке M имеет две разнонаправленные полукасательные. Если в точке M разнонаправленные полукасательные к кривой (a) продолжают одна другую и определяют одну прямую линию – касательную, кривая линия в точке M называется плавной. Кривая, плавная во всех ее точках, называется плавной кривой линией.

Нормалью (n) плоской кривой в данной точке M называется перпендикуляр к полукасательной (t), лежащей в плоскости кривой и направленной внутрь ее.

Поскольку в каждой точке кривой можно построить две полукасательные, то и нормалей также будет две, которые в некоторых случаях могут совпадать (см. рис. 106).

При параллельном проецировании порядок плоской алгебраической кривой не изменяется.

Движение точки вдоль кривой (a) связано с непрерывным изменением двух величин: расстояния S, на которое удалена точка от начального своего положения, и угла a поворота касательной относительно начального положения. Если с увеличением пути S движения точки непрерывно увеличивается и угол a, кривая линия называется простой.

Рис. 107

Угол a между касательными в двух бесконечно близких точках кривой, отнесенный к длине дуги между этими точками, определяют кривизну кривой. Кривизна K – предел отношения угла Da между двумя соседними касательными к соответствующей дуге DS (рис. 107), т.е.

Графически кривизна численно равна величине, обратной радиусу r_k окружности кривизны – окружности соприкасающейся кривой в данной точке и имеющей с ней общие полукасательную и нормаль:

Центр окружности кривизны O_k называют центром кривизны. Он всегда располагается на нормали.

Кривизна прямой в любой ее точке равна 0. Кривизна произвольной кривой в разных точках различна.

Умение графически определять полукасательную, нормаль, радиус и центр кривизны весьма важно при построении плоских кривых с определенными заданными параметрами.

Поскольку касательная и нормаль являются взаимно перпендикулярными прямыми, то положение одной из них однозначно определяют положение другой.

Построение касательной и нормали в общем случае осуществляется приближенно при помощи кривой ошибок. В зависимости от постановки задачи возможны различные способы построения этих параметров.

Для построения касательной t к кривой l, проходящей через точку А, расположенной вне кривой (рис. 108), необходимо через нее провести пучок секущих прямых a¹, a², a³ и т.д. Через середины хорд проводится кривая m, называемая кривой ошибок.

Искомая касательная t проходит через точку M пересечения кривой ошибок с заданной кривой. Нормаль n располагается перпендикулярно касательной.

При построении касательной в заданной точке M кривой первоначально проводят произвольную прямую b примерно перпендикулярно искомой касательной (рис. 110).

Рис. 111

По точкам пересечения окружностей с кривой строят хорды, из концов которых проводят разнонаправленные перпендикуляры к ним. На перпендикулярах откладываются отрезки, равные длине соответствующих хорд. Через концы этих отрезков проводят кривую ошибок m, которая пересекает заданную кривую линию в точке M, через которую проходит нормаль n и касательная t.

Центр и радиус кривизны кривой в заданной точке M строят, используя касательную и нормаль. Для этого через ряд точек кривой A, B, C вблизи точки M и саму точку M проводят касательные t^А, t^В, t^С и t^М (рис. 112).

Через точки A¹, B¹, C¹, M¹, расположенные на одинаковом расстоянии от соответствующих точек кривой A, B, C, M, проводят плавную кривую линию m. В точках M и M¹ строят нормали к кривым l и m, точка пересечения которых O_k определяет центр кривизны кривой l в точке M.

Радиус кривизны .

Рис. 112