Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции)

Определение 1.Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел, т.е. a_n=f(n) при nÎN.

Обозначения: {a_n: nÎN} или (a_n).

Пример 1.a_n=1/n. a₁=1, a₂=1/2, a₃=1/3, a₄=1/4, …, a₁₀=1/10,…, a₁₀₀=1/100,… .

Можно показать, что эта последовательность является убывающей, ограниченной снизу (например, числом 0), и её элементы приближаются к числу 0 при неограниченном возрастании n.

Пример 2.a_n=(2n+1)/(3n+5). a₁=3/8, a₂=5/11, a₃=7/14, a₄=9/17, …, a₁₀=21/35,…, a₁₀₀=201/305,… .

Можно показать, что эта последовательность является возрастающей, ограниченной сверху (например, числом 1), и её элементы приближаются к числу 2/3 при стремлении n к бесконечности.

Понятие предела последовательности является характеристикой поведения элементов последовательности при возрастании их номеров.

Определение 2.Число A называется пределом последовательности (a_n), если элементы этой последовательности a_n приближаются (стремятся) к числу A при возрастании их номеров n.

Обозначения: a_n®A при n®¥ или .

Например, , . Более строго:

Определение 2¢.Число A называется пределом последовательности (a_n), если для любого положительного как угодно малого числа e>0 существует номер N (зависящий от e) такой, что для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство ½a_n-A½<e .

Заметим, что неравенство ½a_n-A½<e равносильно двойному неравенству A-e<a_n<A+e.

Определение 3.Последовательность (a_n) называется возрастающей, если для любого nÎN выполняется неравенство a_n<a_n+1 .

Определение 4.Последовательность (a_n) называется убывающей, если для любого nÎN выполняется неравенство a_n>a_n+1 .

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Определение 5.Последовательность (a_n) называется ограниченной, если существует число M>0 такое, что для любого nÎN выполняется неравенство ½a_n½<M.

Теорема 1.Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема 2.Пусть , и последовательность (c_n) такова, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство a_n £ c_n £ b_n. Тогда .

Замечание 1.При решении задачи на вычисление предела последовательности будем использовать не определение, а теоремы о пределах и известные пределы:

, , , .

Задача 1.Вычислить предел последовательности:

Задача 2.Вычислить предел последовательности: .

Решение.Имеет место неопределенность вида . Теоремы о пределах применить нельзя. Проведем тождественные преобразования, цель которых — получение последовательности, к которой можно применить теоремы о пределах.

Числитель и знаменатель дроби поделим на старшую степень n². Получим .

Определение 6.Число A называется пределом функции y=f(x) при x®+¥, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A при неограниченном возрастании аргумента x.

Обозначения: f(x)®A при x® +¥ или . Более строго:

Определение 6¢.Число A называется пределом функции y=f(x) при x®+¥, если для любого положительного как угодно малого числа e>0 существует положительное число M>0 (зависящее от e) такое, что для всех значений аргумента xÎD(f), удовлетворяющих условию x>M, выполняется неравенство ½f(x)-A½<e .

Определение 7.Число A называется пределом функции y=f(x) при x®-¥, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A, когда аргумент x, оставаясь отрицательным, неограниченно возрастает по абсолютной величине.

Обозначения: f(x)®A при x® -¥ или .

Определение 8.Число A называется пределом функции y=f(x) при x®¥, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A при неограниченном возрастании аргумента x по абсолютной величине.

Обозначения: f(x)®A при x®¥ или .

Пример 3.Вычислить предел функции .

Пример 4.Выяснить, существует ли предел функции .

Решение.Имеет место неопределенность вида . Теоремы о пределах применить нельзя. Рассмотрим два случая.

Пусть x>0. Тогда . Следовательно: .

Итак, функция не имеет предела при x® ¥ .