В более позднее время центр математических исследований переместился на Восток — в Китай, Индию, Среднюю Азию, арабские страны. Средневековая восточная математика представляла собой совокупность вычислительных приемов и методов для решения арифметических и геометрических задач.

Общие черты математики в странах Востока объясняются схожестью общественных структур этих государств. Везде население занималось земледелием, ремеслом, торговлей в рамках постепенно складывающегося феодального общества.

Для решения многочисленных задач, возникающих при строительстве систем орошения, дорог, военных укреплений, храмов и дворцов, требовалось умение измерять объемы и площади, вычислять необходимое количество материалов и рабочих. Разнообразные задачи возникали в связи с распределением налогов и разделами наследства, особенно в арабских странах в соответствии со сложными мусульманскими законами. Все эти практические вопросы приводили к необходимости составления и изучения линейных уравнений и их систем, решения задач на пропорциональное деление, извлечения квадратного и кубического корней, а также составления квадратных и кубических уравнений.

Сочинение китайского автора «Математика в девяти книгах» подвело итоги развития математики к началу нашей эры. В результате многих переработок это сочинение стало математической энциклопедией, к VII— X вв. оно сделалось основным учебником для поступающих на государственную службу и классическим сочинением, из которого исходили ученые в своих исследованиях.

В «Математике в девяти книгах» формулируются задачи, а затем дается алгоритм их решения. Объяснений и доказательств приведенных правил нет. Этот догматизм изложения объясняется тем, что учебная математическая литература предназначалась для земледельцев, чиновников, строителей, которым нужны были точные и краткие правила решения определенных задач. Об этом говорят и названия книг: «Измерение полей», «Соотношение между различными видами зерновых культур» и т. д.

Математики Китая работали над созданием алгоритмов, пригодных для решения возможно более широких классов задач. Они получили общий метод решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Основное достижение математики Китая — открытие общего метода решения системы п линейных уравнений с п неизвестными. Распространяя этот метод на любые линейные задачи, впервые в истории математики они ввели положительные и отрицательные числа. Для различения положительных и отрицательных чисел были введены специальные знаки.

Важно отметить, что отрицательные числа были введены для формального распространения алгоритма решения линейных уравнений на любые задачи этого типа. Аналогичные явления имеют место и в дальнейшей истории расширения понятия числа. Так, для развития общей теории решения уравнений третьей и четвертой степеней были впоследствии введены комплексные числа.

Важнейшим достижением математики Индии является позиционная система счисления. Для ее создания необходим был знак нуля, который показал бы отсутствие в данном числе какого-либо разряда. Введенный в Индии нуль изображался в виде кружка. Созданная в Индии единая позиционная десятичная система счисления позволила существенно упростить письменные вычисления.

Оригинальные приемы разработали математики Индии для решения в целых числах неопределенных уравнений. К таким уравнениям приводили задачи астрономии. Весьма вероятны связи между математиками Индии и Китая, где также решались подобные задачи.

В математике Индии преобладали вычислительные приемы. Ученых интересовали правила счета, практические выкладки, а не теоретические рассуждения. Так, в геометрии они вместо доказательств приводили чертежи, сопровождая их одним словом «смотри!». В этом принципиальное отличие средневековой математики от дедуктивной науки Древней Греции, ученые которой стремились к созданию строгих теорий и пренебрегали конкретными числовыми выкладками, так как последние дают только приближенные значения.

Заметим в связи с этим, что, развивая приемы приближенных вычислений, средневековые математики разрабатывали правила нахождения квадратных и кубических корней. В результате этого они свободно оперировали с радикалами, что способствовало развитию понятия об иррациональном числе, равноправном с целыми и рациональными числами. Так на базе вычислительной математики складывалось важнейшее понятие науки — действительное число.

В индийской математике, однако, нет никаких теоретических рассуждений о природе иррационального числа. Идея создания понятия действительного числа путем объединения рациональных и иррациональных чисел была развита в работах математиков Ближнего и Среднего Востока. Математические сочинения народов Средней Азии, Ближнего Востока, северной Африки в IX—XV вв. были написаны на арабском языке, поэтому для их общей характеристики введен термин арабская математика. В центре внимания математики Ближнего и Среднего Востока стояли те же проблемы, что в Китае и Индии.

Преимущество арабских математиков заключается в том, что они овладели дедуктивным методом исследования греческой науки. Это позволило им привлечь к решению вычислительных проблем мощные средства математики. Вместо отдельных правил расчета, создаваемых в Китае и Индии, арабские ученые строили целые теории. Так, на основе теории конических сечений, разработанной в Древней Греции, они создали геометрическое учение об уравнениях третьей степени. Значительное место в арабских сочинениях занимают доказательства.

Математические сочинения арабов послужили впоследствии европейским ученым основным источником информации. Большая часть сведений об античной математике была почерпнута из арабских трактатов и в арабских переводах.

Так же, как в Китае и Индии, математики арабских стран были одновременно астрономами. Для нужд астрономии составлялись таблицы тригонометрических функций. Индийцы ввели понятие синуса угла и составили таблицу синусов. Арабские ученые, хорошо знакомые и с греческой, и с индийской математикой, пошли значительно дальше. Они создали тригонометрию как большую стройную математическую теорию.

В арабских странах проводились не только исследования, связанные с вычислительными проблемами, но и другие. Так, интересные результаты были получены в учении о параллельных. Еще в Древней Греции предпринимались попытки доказать пятый постулат. Арабские математики продолжили эту работу. При этом они основывались на каком-либо явном или неявном допущении, равносильном пятому постулату. Так было проведено доказательство, основанное на допущении — если при пересечении двух прямых какой-нибудь третьей накрест лежащие углы равны, то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой прямой. На этой основе была доказана теорема о том, что через любую точку внутри данного угла можно провести прямую, пересекающую обе его стороны. Интересно, что именно на скрытом допущении этого предложения основано «доказательство» пятого постулата, предложенное в 1800 г. А. Лежандром.

Арабские математики были далеки от мысли о построении геометрической системы, отличной от евклидовой. Они только стремились доказать пятый постулат на основе предложений, которые считали очевидными. Но при этом они сделали ряд важных открытий, так как фактически пришли к некоторым простейшим предложениям неевклидовой геометрии, хотя и рассматривали эти предложения как невозможные.

Примерно в середине XV в. развитие математики на Востоке замедляется и постепенно прекращается. Народы этих стран надолго оказались задержанными на феодальной стадии развития, они подверглись колониальному нажиму капиталистических стран. Прогресс науки, в том числе и математики, в XV—XVI в. был приостановлен.

Математика европейского Средневековья и эпохи Возрождения

В Европе математики достигли важных результатов только в эпоху Средневековья, начавшуюся в XV—XVI вв. и длившуюся до середины XVII в. Это было время феодализма, в недрах которого в XV—XVII вв. зарождались капиталистические отношения. Период XV—XVI вв. называется эпохой Возрождения.

Это было время важнейших технических достижений, время великих географических открытий. В Европе появляются компас, часы, порох, дешевая бумага и книгопечатание. В связи с практическими запросами техники и мореплавания дальнейших успехов достигла математика.

Важную роль в ее развитии сыграло открытие университетов. Ученые и студенты усваивали достижения Древней Греции, стран Востока и Средней Азии.

Значительным событием было внедрение десятичной позиционной нумерации. Первоначально в Европе господствовал неудобный для вычислений способ записи чисел с помощью римских цифр; при этом вычисления проводились с помощью счетного прибора — абака. Внедрение десятичной позиционной системы позволило разработать простые правила письменных вычислений. Так записи постепенно вытесняли использование счетных приборов. Этому способствовало также изготовление бумаги и появление книгопечатания.

Развитие письменного счета в свою очередь привело к появлению сокращений и специальных символов. Прежде всего появились знаки операций: плюс, минус, знак равенства, затем знаки радикалов, обозначения для неизвестных в уравнениях. В результате этого долгого процесса, длившегося несколько столетий и в основном завершенного Р. Декартом, словесные правила были заменены формулами.

Значение этого явления в истории науки трудно переоценить. Именно с этого времени начинается собственно развитие алгебры — науки о буквенных вычислениях, о преобразовании формул, об алгебраических уравнениях, в отличие от арифметики — науки о действиях с конкретными числами.

Создание развитой символики, введение знака радикала и разработка правил операций со степенями позволили европейским ученым подойти к проблеме решения уравнений степени выше второй. Именно в этой области были получены первые значительные успехи: найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.

В Италии в эпоху Возрождения было решено сначала уравнение х³+ рх + q = 0, где р и q — произвольные числа, а затем было показано, каким образом с помощью подстановки у = х - а/3 к этому виду можно привести любое уравнение третьей степени:

у³ + ay² + by + с = 0.

Спор о приоритете в решении этой проблемы между учеными Н. Тарталья и Дж. Кардано затянулся на несколько столетий. Вскоре Л. Феррари нашел способ решения уравнения четвертой степени:

х⁴ + ах³ + bx² + cx + d = 0.

Успех итальянских математиков произвел большое впечатление на их современников. Это был первый случай, когда европейская наука превзошла достижения древних.

Ученые эпохи Средневековья получили также ряд интересных результатов в тригонометрии, которая, по существу, в то время являлась частью астрономии. Они приступили к изучению и усовершенствованию античных теорий о конических сечениях и интеграционных методов. В математике зарождалась идея функциональной зависимости.

Главное же состоит в том, что в этот период математика используется не только для практических нужд земледелия и торговли. Она становится мощным средством новой техники и естествознания — орудием изучения законов природы.

Долгий период математики постоянных величин подошел к завершению. Открылась новая эпоха — эпоха математики переменных величин, изучающей процессы движения, изменения, развития.