Первообразная, основное свойство первообразных
Неопределенный интеграл, общая теория
Лекция 9
Аргументы
Описание
Процедурный тип данных
Открытые строки
Поскольку строки - это массивы символов, то они тоже могут стать открытыми параметрами. Описывается это следующим образом:
var <имя_параметра>: string
Например:
function func6 (var s: string): byte;
Длина такого параметра будет автоматически скорректирована в соответствии с длиной строки-аргумента.
Имена подпрограмм могут выступать в роли аргументов для других подпрограмм.
В разделе type процедурный тип данных задается одним из следующих способов:
<имя_типа> = function[(<список_параметров>)]:<тип_результата>;
Или
<имя_типа> = procedure[(<список_параметров>)];
Например:
type func = function(a,b:integer):integer;
Аргументами, которые можно передать в параметр процедурного типа, могут быть только подпрограммы первого уровня вложенности, чье объявление полностью соответствует этому типу. Кроме того, объявления подпрограмм, которые могут стать аргументами, необходимо снабдить ключевым словом far, означающим, что программа будет использовать не только основной сегмент данных.
Например, для параметра, имеющего описанный выше тип func, аргументами могут послужить такие функции:
function min(a,b: integer): integer; far;
begin if a>b
then min:= b
else min:= a
end;
и
function max(a,b: integer): integer; far;
begin if a<b
then max:= b
else max:= a
end;
Вызов
Приведем пример подпрограммы, имеющей параметр процедурного типа:
procedure count(i,j:integer; f:func);
var c: integer;
begin
...
c:= f(i,j);
...
end;
Теперь, если будет осуществлен вызов count(x,y,min), то в локальную переменную с запишется минимум из x и y. Если же вызвана будет count(x,y,max), то в локальную переменную с запишется максимум из x и y.
Определение 1. Первообразной функции 
называется функция 
, производная которой равна , то есть 
.
Поскольку 
, где 
постоянная, первообразных функции бесчисленное множество.
Теорема. Любые две первообразные функции могут отличаться только на постоянную. Другими словами, если и 
, то
Доказательство.
, и поскольку производная разности двух первообразных оказалась равной нулю, разность функций является постоянной.
Определение 2. Множество всех первообразных одной функции называется неопределенным интегралом и обозначается 
, причем называется подынтегральной функцией, 
подынтегральным выражением.
Очевидно, 
, где , а 
произвольная постоянная интегрирования, слово "произвольная" подчеркивает, что постоянная может принимать любые значения.
Свойства неопределенного интеграла (НИ)
1. 
Доказательство. 
.
2. 
Доказательство: 
.
3. 
Доказательство.
.
4. 
, если 
постоянная.
Доказательство. Пусть 
, причем , поскольку 
, 
первообразная функции 
, следовательно, 
.
5. 
, если 
и 
, где 
.
Доказательство. Поскольку 
, 
является первообразной функции 
, следовательно,
.
Примечание. Доказательства проводятся с точностью до постоянной интегрирования, что следует из определения интеграла.
Следствия.
1. Если , то 
Доказательство. Дифференцируем обе части доказываемого равенства, причем 
, имеем
,
,
производные левой и правой частей равенства совпадают, следовательно, сами функции отличаются на постоянную.
2. 
Доказательство. Из 
при 
имеем 
, откуда имеем .
3. 
Доказательство следует из первого и второго следствий.
Таблица интегралов
1. 
. Доказательство 
.
2. 
. Доказательство 
.
3. 
. Доказательство 
.
4. 
.
Доказательство 
.
5. 
. Доказательство 
.
6. 
Доказательство 
.
7. 
. Доказательство 
.
8. 
. Доказательство 
.
9. 
. Доказательство 
.
10. 
. Доказательство 
.
11. 
. Доказательство 
.
12. 
. Доказательство 
.
13. 
.
Доказательство. 
.
14.
.
Доказательство 
.
15. 
.
Доказательство. 
.
16. 
.
Доказательство. 
.
17. 
.
Доказательство.
Имея таблицу производных и свойства интегралов, можно приступать к вычислению других интегралов. Однако, в отличие от процедуры дифференцирования, единой для сколь угодно сложных функций, в интегрировании нет стандартных приемов, обязательно приводящих к результату. Более того, не все интегралы вычисляются точно. Единственной рекомендацией общего характера является приведение нового интеграла к одному, или нескольким уже известным. Для этого существует несколько правил, они носят рекомендательный характер и не обязательно приводят к успеху.