Основные формулы для вычисления вероятностей

Текст лекции

Лекция 2 Основные формулы для вычисления вероятностей

Учебные и воспитательные цели:

1. Изучить основные формулы для вычисления вероятностей.

Вид занятия:лекция

Продолжительность занятия:90 минут

Учебно-материальное обеспечение занятия:

Медиа-проектор, ноутбук, слайды Power Point (Оверхэд-проектор, слайды).

Литература:

а) основная:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.

Структура занятия и расчёт времени

Ограниченность классического и статистического способов определения вероятности событий, приемлемых, главным образом, для определения вероятности простых событий, приводит к тому, что в подавляющем большинстве случаев ни один из этих способов в чистом виде для решения задачи определения наступления событий применить не удаётся.

Например, требуется определить вероятность поражения движущегося танка. Определить эту вероятность по частоте наступления события на практике невозможно – необходимо провести большое число стрельб. При этом надо не только определить вероятность попадания в движущийся танк (что сделать не сложно), но и определить вероятность поражения его экипажа, если будет иметь место попадание в танк (а это выполнить на практике невозможно).

Факт сложности или невозможности определения вероятности сложных событий явился стимулом разработки аппарата теории вероятностей, с помощью которого вероятность определяется не прямым, а косвенным методом через вероятность более простых событий.

Сущность косвенного метода определения вероятности сложного события заключается в следующем: вначале анализируют условия испытания и устанавливают события А₁, А₂, А₃,…, А_n, от которых зависит наступление события В, как комбинацию В={А₁, А₂, А₃, …, А_n}. Определяют вероятности наступления простых событий Р(А₁), Р(А₂), Р(А₃), …, Р(А_n). После чего определяют вероятности интересующего события В как функцию известных или заданных вероятностей.

Р(В) = f(Р(А₁), Р(А₂), Р(А₃), …, Р(А_n))

Однако определению вероятности наступления сложного события как комбинации более простых событий должны предшествовать твёрдые знания правил применения рассмотренных в лекции теорем сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий.

Этому вопросу и будет посвящён вопрос нашего занятия.

Пример: для того что бы вывести из строя артиллерийскую батарею необходимо поразить либо два взвода с орудиями либо центр управления огнём. Используя операции сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий представим сложное событие D={поражение артиллерийской батареи} как комбинацию простых событий. Результат проиллюстрируем диаграммой Эйлера-Венна.

Решение:

Обозначим через событие А = {поражение первого взвода орудий}, через событие В = {поражение второго взвода орудий}, С = {поражение центра управления огнём}. Тогда событие D = {поражение артиллерийской батареи} определится как поражение либо центра управления огнём (событие С) либо одновременно первого взвода орудий (событие А) и второго взвода орудий (событие В), т.е. будет иметь место следующая комбинация событий D={С+А´В} (рисунок 1).

Рисунок 1

Для решения такого типа задач необходимо усвоить ряд основных свойств, которыми обладают действия над событиями.

Операции сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий обладают рядом свойств, аналогичным свойствам сложения и умножения чисел.

1. Переместительное свойство:

А + В = В + А; А´В = В´А.

2. Сочетательное свойство:

(А + В) + С = А + (В + С); (А´В)´С = А´(В´С).

3. Распределительное свойство:

(А + В)´С = А´С + В´С (рисунок 2).

Рисунок 2

4. Операции прибавления пустого множества и умножения на пустое множество аналогичны операциям над числами, если считать пустое множество за ноль.

Ряд операций над событиями уже не обладают свойствами по аналогии с арифметическими действиями, например:

5. (рисунок 3)

Рисунок 3

6. (рисунок 4).

		=

Рисунок 4

7. (рисунок 5).

а б

в

Рисунок 5

Заключительная часть занятия:

· напомнить тему и учебные вопросы занятия;

· отметить степень достижения учебных целей;

· ответить на возникшие вопросы;

· отметить работу группы в целом;

· оценить работу студентов;

· поставить задачу на подготовку к следующему занятию:

На занятии иметь:

1. Калькуляторы – на каждого

Задание на самостоятельную работу

Изучить:

· Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с. – стр. 32-35

· Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. – М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с. – стр.18-29.

Лекция 3 Основные теоремы теории вероятностей: сложение, умножение, формула полной вероятности

Учебные и воспитательные цели:

1. Изучить правила сложения и умножения вероятностей.

2. Изучить формулу полной вероятности.

Вид занятия:лекция.

Продолжительность занятия:90 минут.

Учебно-материальное обеспечение занятия:

Медиа-проектор, ноутбук, слайды Power Point (Оверхэд-проектор, слайды).

Литература:

а) основная:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. – М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.

Структура занятия и расчёт времени