Высокочастотный фильтр Баттеруорта.

Синтез фильтров методом частотного преобразования. Высокочастотные и полосовые фильтры конструируются путем частотной трансформации передаточных функций фильтров низких частот. Если обозначить аргумент передаточных функций ФНЧ через p=jW, a функций ФВЧ и ПФ через s=jw, то всегда можно найти такую функцию частотного преобразования p=F(s), которая превращает один тип фильтров в другой. Для преобразования ФНЧ → ФВЧ функция частотного преобразования имеет вид:

p = 1/s, (10.2.1)

В этом нетрудно убедиться сравнением двух видов преобразования. Как известно, передаточная функция ФВЧ может быть получена из ФНЧ разностью между широкополосным фильтром (H(w)=1) и ФНЧ. Применяя этот метод для функции Баттеруорта, получаем:

|H(w)|2 = 1-|H(W)|2 = 1- 1/(1+W2N) = W2N/(1+W2N). (10.2.2)

С другой стороны, при W = p/j: |H(p)|2 = 1/(1-p2N). Выполняя подстановку (10.2.1) в это выражение, получаем:

|H(s)|2 = s2N/(s2N-1).

Возвратимся из последнего выражения к аргументу w с учетом принятого равенства s=jw:

|H(s)|2 = (jw)2N/((jw)2N-1) =(w)2N/(1+(w)2N),

что полностью повторяет (10.2.2) при w=W.

Подставляя p=1/s непосредственно в выражение H(p) (10.1.16) для четного значения N, получаем:

H(s) = Gs2/(s2+am s+1). (10.2.3)

Для нечетного N:

H(s) = [G·s/(s+1)]s2/(s2+am s+1). (10.2.4)

После билинейного z-преобразования выражения с подстановкой s=g(1-z)/(1+z), для четного и нечетного значений N соответственно:

H(z) = Gg2·Gm·(1-z)2/(1-bm z+cm z2). (10.2.5)

H(z) = Gg2·Gm·(1-z)2/(1-bm z+cm z2). (10.2.6)

Gm = 1/(g2 + amg + 1). (10.2.7)

bm = 2·Gm (g2 - 1).

cm = Gm (g2 - amg + 1).

Значения коэффициентов Gm, bm, cm остаются без изменения (сравнить с (10.1.21-10.1.23)). При задании частотных параметров ФВЧ в том же виде, что и для ФНЧ, формула расчетов N и wdc получается аналогично ФНЧ, при этом в знаменателе выражения (10.1.6) отношение wdp/wds заменяется на wds/wdp:

N = ln [d/] / ln(wds/wdp), (10.2.8)

а в (10.1.7) деление членов правой части меняется на умножение:

wdc = wdp·d1/N. (10.2.9)

Уравнение рекурсивной фильтрации для m-го оператора фильтра:

yk = g2·Gm (xk-2xk-1+xk-2) + bm yk-1 - cm yk-2. (10.2.10)

Уравнение рекурсивной фильтрации для дополнительного h0(i) линейного оператора фильтра при нечетном N:

y0 = g·(xk-xk-1)/(g+1) + yk-1·(g-1)/(g+1). (10.2.11)