Математическая модель оптимизации движения информационных потоков в системе управления

На предпроектной стадии разработки АСОИУ важно выделить возможные узкие места в проектируемой системе обработки информации данной организации. Это позволит оптимально (рационально) распределить средства вычислительной техники по подразделениям, обеспечить должную загрузку технических средств и гарантировать решение всех управленческих задач в требуемые сроки.

Пусть организация состоит из подразделений, имеющих взаимные информационные связи. Каждому подразделению поставим в соответствие следующую совокупность функций:

– входной поток первичной (внешней) информации, поступающей в подразделение в момент времени ;

– информационный поток из подразделения данной организации в подразделение этой же организации в момент времени , .

В общем случае входной поток первичной информации имеет трендовую, сезонную и циклическую составляющие, а также на него могут влиять случайные изменения с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Поэтому можно представить в виде:

, (1)

где

– объем первичной информации (в байтах, документах, документостроках и т.д.), поступающей для обработки в подразделение в момент времени ;

– трендовая составляющая потока;

– сезонная составляющая потока;

– циклическая составляющая потока;

– случайная составляющая потока, причем полагают, что .

Принципиально важно, что объем информационного потока, передаваемого от подразделения к подразделению для последующей обработки, является эндогенной для рассматриваемой системы величиной, зависящей от совокупного объема информации, поступившего для обработки в подразделение , укомплектованности его кадрами и оснащенности средствами вычислительной техники.

Рассмотрим с формально-логической точки зрения процесс обработки информации в подразделении , которое будем считать «черным ящиком», преобразующим входную информацию (совокупный объем входной информации, который поступил в подразделение ) в выходную информацию .

Это можно записать так:

(2)

Если, однако, пропускная способность подразделения недостаточна для обработки всего поступившего объема информации в единицу времени, то фактически получаемый объем выходной информации в момент времени , т.е. таков, что будет справедливо следующее неравенство:

. (3)

Поэтому в динамике, т.е. с учетом временного фактора, равенство (2) примет вид:

. (4)

Равенство (4) гарантирует получение всего требуемого, т.е. «положенного», объема выходной информации за определенный период времени и то лишь в том случае, если подразделение обладает определенными вычислительными ресурсами в течение зависящего от величины этих ресурсов времени от поступления «порции» входной информации.

Для формализации введем следующие переменные:

- – объем входной информации, который может быть обработан в подразделении в момент времени ,

- – совокупный объем информации, поступившей в подразделение , но не обработанной к моменту времени .

Тогда, если интервал времени достаточно мал, то можно записать, что прирост, не обработанной за время информации, равен:

(5)

Поделив выражение (5) на ∆t при ∆t→0, получим:

(6)

Дифференциальное уравнение (6) определяет динамику изменения объема необработанной в подразделении информации.

Так как поток входной информации складывается из первичной информации, поступающей из внешней среды, и информационных потоков из других подразделений, то с учетом ранее введенных обозначений можно записать

, (7)

где - количество информации, поступившей в подразделение из других (n – 1) подразделений.

Поскольку в действительности – это объем информации, который является продуктом работы подразделения , т.е. выходящей из подразделения информации, зависит от объема переработанной информации , то можно записать:

(8)

Введем еще одни обозначения.

Обозначим через функции, характеризующие объем информации, передаваемой от подразделения подразделению с номером .

Так как вся вновь созданная в подразделении информация распределяется между (n–1) подразделениями организации в соответствии с функциями , то можно записать:

(9)

Теперь можно определить структуру модели. Основные соотношения из (6), (7), (8) и (9) следующие:

(10)

(11)

, (12)

где W_p(t) определяется формулой (1).

Будем считать заданными функции (они определяется структурой и назначением подразделений организации) и заданными функции (они определяет общий объем выходной, т.е. созданной информации от количества обработанной входной информации).

Тогда для определения эндогенных (внутренних) n²+2n переменных модели, т.е. функций

– объем необработанной информации в единицу времени в подразделении ,

– объемы информации, передаваемой от одного подразделения к другому,

– объем информации, обрабатываемой в единицу времени подразделением ,

имеем n дифференциальных уравнений (10) и n² обычных уравнений (12).

Поскольку система уравнений (10) – (12) является неопределенной, то представляет интерес постановка задачи как оптимизационной.

Пусть: – предельная пропускная способность подразделения p в момент времени t. Ее величина соответствует полной загрузке персонала и технических средств данного подразделения; – предельная пропускная способность подразделения в начальный момент времени;

C_p(X_p) – заданная функция величины затрат на обеспечение пропускной способности подразделения p в размере X единиц информации в единицу времени. Эти затраты складываются из заработной платы сотрудников данного подразделения и средств, необходимых для технического обслуживания ПЭВМ, другой вычислительной и оргтехники, а также затрат на сопровождение ПО;

U_p(t) – прирост максимальной пропускной способности подразделения в период t. Отрицательная величина соответствует продаже или выходу из строя тех или иных технических средств, увольнению или болезни сотрудников и т.д.; т.е.

K_p(U_p) – заданная функция зависимости величины дополнительных капиталовложений при изменении пропускной способности подразделения p на U_p единиц.

Теперь решение вопроса о выборе рациональной организации наращивания пропускных способностей подразделений организации по выпуску информации, при критерии минимума совокупных затрат, может быть сведено к решению задачи математической теории оптимального управления:

(13)

, (14)

, (15)

, , (16)

, (17)

, (18)

, (19)

, (20)

Здесь Т – горизонт планирования, а – ограничения на величину «задолженности» подразделения р по обработке информации. Введение ограничений (20) необходимо для обеспечения формального требования неотрицательной величины необработанной информации, т.к. обработка информации «впрок» до ее получения невозможна. Ограничение сверху на V_p(t) объясняется требованием завершения обработки информации в срок по всем цепочкам процессов ее преобразования.

Рассмотренный вариант модели соответствует полностью распределенной обработке данных в организации, т.к. условиями (17) задаются ограничения на пропускные способности каждого подразделения, чем неявно предполагается возможность перераспределения технических средств между ними. При централизованном варианте СОД условия (17) должны быть заменены на:

, (21)

где – мощность специализированного вычислительного подразделения (объем информации, который может быть обработан ВЦ учреждения при максимальном уровне загрузки средств вычислительной техники).

Кроме того, вместо системы функций , U_p(t) должна рассматриваться лишь пара функций и U(t), где U(t) – прирост мощностей по обработке информации специализированного вычислительного подразделения в момент времени t. При этом условия (18) и (19) заменяются на:

, (22)

, (23)

и требуют переопределения функции и K_p(U).

Функционал (13) предполагает оптимизацию основных переменных по критерию минимума совокупных затрат. Возможна другая постановка задачи, если в качестве критерия эффективности СОД выбрать минимизацию времени, необходимого для выпуска информации по задачам заданного множества подразделений.

Введем множество Р΄ подразделений, выпускающих конечную информационную продукцию. Тогда, если множество Р˝Р΄ подразделения, которые должны обеспечить наиболее оперативный выпуск информации, то функционал задачи принимает вид:

(24)

а ограничения (20) должны быть заменены на

(25)

(26)

где c(t) – лимит на текущие затраты учреждения в период t,

k(t) – лимит на капитальные затраты учреждения.

Смысл функционала (24) состоит в том, чтобы свести к минимуму величину необработанной информации в тех подразделениях, от которых требуется наиболее оперативное решение задач.

Все перечисленные выше изменения не выводят задачу из класса задач теории оптимального управления. Поэтому как аналитическое исследование, так и численное ее решение могут быть получены известными методами и алгоритмами.