Сравнения

В криптографии мы часто используем понятие сравнения вместо равенства. Отображение Z в Z_n не отображаются "один в один". Бесконечные элементы множества Z могут быть отображены одним элементом Z_n. Например, результат 2 mod 10 = 2, 12 mod 10 = 2, 22 mod 10 = 2, и так далее. В модульной арифметике целые числа, подобные 2, 12, и 22, называются сравнимыми по модулю 10 (mod 10). Для того чтобы указать, что два целых числа сравнимы, мы используем оператор сравнения (). Мы добавляем mod n к правой стороне сравнения, чтобы определить значение модуля и сделать равенство правильным. Например, мы пишем:

2 12 (mod 10) 13 23 (mod 10) 34 24 (mod 10) –8 12 (mod 10)

3 8 (mod 5) 8 13 (mod 5) 23 33 (mod 5) -8 2 (mod 5)

Рисунок показывает принцип сравнения. Мы должны объяснить несколько положений.

А) Оператор сравнения напоминает оператор равенства, но между ними есть различия. Первое: оператор равенства отображает элемент Z самого на себя; оператор сравнения отображает элемент Z на элемент Z_n. Второе: оператор равенства показывает, что наборы слева и справа соответствуют друг другу "один в один", оператор сравнения — "многие — одному".

В) Обозначение (mod n), которое мы вставляем с правой стороны оператора сравнения, обозначает признак множества (Z_n). Мы должны добавить это обозначение, чтобы показать, какой модуль используется в отображении. Символ, используемый здесь, не имеет того же самого значения, как бинарный оператор в уравнении деления. Другими словами, символ mod в выражении 12 mod 10 — оператор; а сочетание (mod 10) в сравнении означает, что набор — Z₁₀.