Энергетический спектр сигнала

Если функция s(t) имеет фурье-образ S(w), то плотность мощности сигнала (спектральная плотность энергии сигнала) определяется выражением:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|² Û |S(w)|² = S(w)S*(w) = W(w). (5.9)

Спектр мощности W(w) – вещественная неотрицательная четная функция, которую обычно называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектральной плотности сигнала, не содержит фазовой информации о его частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Последнее позволяет получить выражение для энергетического спектра непосредственно из выражений (5.7). В пределе, для одинаковых сигналов u(t) и v(t) при сдвиге Dt Þ 0, мнимая часть спектра W_uv(w) стремится к нулевым значениям, а реальная часть – к значениям модуля спектра. При полном временном совмещении сигналов имеем:

W_uv(w) = U(w)V*(w) = U(w)U*(w) = |U(w)|² = W_u(w). (5.10)

Соответственно, полная энергия сигнала:

Е_u =u(t)²dt = (1/2p)W_u(t)dt = (1/2p)|U(w)|² dw, (5.11)

т.е. энергия сигнала равна интегралу квадрата модуля его частотного спектра – сумме энергии его частотных составляющих, и всегда является вещественной величиной.

Для произвольного сигнала s(t) равенство

|s(t)|² dt =|S(f)|² df

обычно называют равенством Парсеваля (в математике – теоремой Планшереля, в физике – формулой Релея). Равенство очевидно, так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала.

Аналогично для энергии взаимодействия двух сигналов:

u(t) v*(t) dt =U(f) V*(f) df.

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

áu(t), v(t)ñ = áU(f),V(f)ñ, ||s(t)||² = ||S(f)||².

В целом ряде чисто практических задач регистрации и передачи сигналов энергетический спектр сигнала имеет весьма существенное значение.

Периодические сигналы переводятся в спектральную область в виде рядов Фурье. Запишем периодический сигнал с периодом Т в виде ряда Фурье в комплексной форме:

s(t) =S_k exp(j2pkt/T),

и вычислим среднюю мощность сигнала за один период:

W_T = (1/T)s²(t) dt = (1/T)S_k S_mexp(j2p(k+m)t/T) dt.

Интервал 0-Т содержит целое число периодов всех подынтегральных экспонент, и равен нулю, за исключением экспоненты при k = -m, для которой интеграл равен Т. Соответственно, средняя мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье:

W_T =|S_k|².

Как правило, спектры сигналов с крутыми фронтами (например, кодовых сигналов при передаче цифровых данных) являются многолепестковыми с постепенным затуханием энергии в последовательных лепестках. Пример нормированного энергетического спектра прямоугольного импульса длительностью t_и приведен на рис. 5.3. Спектры выполнены в линейном (сплошная линия) и логарифмическом (пунктир) масштабе по оси значений. Для четкого разделения лепестков функции спектров приведены по безразмерной частотной переменной f×t_и.

Рис. 5.3. Энергетический спектр прямоугольного импульса

Интегрированием энергетического спектра по интервалам лепестков спектра нетрудно вычислить, что в пределах первого лепестка сосредоточено 90.2% энергии всего сигнала, в пределах второго – 4.8%, в пределах третьего – 1.7%, и т.д. Если форма сигналов в пункте их приема (детектирования) существенного значения не имеет, а регистрация сигналов идет на уровне статистических шумов, равномерно распределенных по всему частотному диапазону, то такие сигналы целесообразно пропускать через фильтр нижних частот с выделением только первого энергетического лепестка сигнала. Естественно, что при этом фронты регистрируемого сигнала будут сглажены. Но при расширении полосы пропускания фильтра на два или три лепестка энергия принимаемого сигнала будет увеличена соответственно на 4.8 или 6.5%, в то время как энергия шумов в 2 или 3 раза.

Лекция 6