Обобщенный ряд Фурье

Тригонометрические функции не является единственно возможными функциями разложения сигналов. В общем случае разложение сигнала s(t) на интервале (a, b) в ряд вида c_kj_k(t) может быть выполнено по произвольным функциям j_k(t). При задании минимальной погрешности приближения

Ds =[s(t) - c_kj_k(t)]² dt

коэффициенты c_k могут быть найдены из системы линейных уравнений:

=[s(t) - c_kj_k(t)]² dt = 0, k = 0,1,2,…N.

При линейной независимости функций j_k(t) данная система уравнений имеет единственное решение. Если все функции j_k(t) взаимно ортогональны и соответствующей нормировкой обеспечена их ортонормированность

j_m(t) j_n(t) dt =,

то процесс нахождения коэффициентов c_k оказывается наиболее простым:

c_k =s(t) j_k(t) dt,

и для принятого значения N погрешность приближения Ds является минимальной. Если при N ® ¥ имеет место Ds ® 0, система функций j_k(t) называется базисной системой координат пространства сигналов L²[a, b] . При этом имеет место равенство:

s(t) =c_kj_k(t).

Разложение по ортонормированной системе базисных функций называется обобщенным рядом Фурье, а набор коэффициентов c_k представляет собой спектр функции s(t) в соответствующем базисе. В зависимости от специфики решаемых задач применяются различные системы базисных функций. В частности, используются разложения по полиномам Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, функциям Хаара и Уолша и т.п.