Свойства пределов

1. Если последовательность {x_n} сходится, то только к одному пределу.
2. Если последовательность {x_n} имеет своим пределом число а и если b>a, то почти все члены последовательности меньше b.
3. Если последовательность имеет своим пределом число а и если b<a, то почти все члены последовательности больше b.
4. Пусть , и ε — произвольное положительное число. Тогда существует такое число n₀, что при одновременно выполняются два неравенства и .
5. Пусть даны три последовательности {x_n}, {у_n} и {z_n}, причём для любого натурального числа n выполняется неравенство . Если последовательности {x_n} и {z_n} сходятся к одному и тому же пределу: , то и последовательность {у_n} сходится к тому же пределу: .
6. Пусть и , причём для любого n справедливо неравенство , тогда выполняется неравенство .
7. Если все члены сходящейся последовательности неотрицательны, то предел последовательности есть неотрицательное число.
8. Если вес члены последовательности неположительные, то предел последовательности есть неположительное число.
9. Если последовательность сходится, то она ограничена.