Степень комплексного числа

3.1. Натуральная степень комплексного числа

n-й натуральной степенью комплексного числа z называется комплексное число, полученное в результате умножения числа z на себя n раз:

.

n-ю степень числа z обозначают zn.

Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.

n-я степень комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

z = r×(cos j + i×sin j),

вычисляется по формуле Муавра:

zn = rn×(cos n×j + i×sin n×j).

Замечание. Наряду с алгебраической и тригонометрической формами представления к.ч. часто используется так называемая показательная (экспоненциальная) форма. Она основана на формуле Эйлера

.

Показательной (экспоненциальной) формой представления к.ч. называется выражение

,

где r – модуль к.ч., а j = arg z – главное значение аргумента к.ч.

 

3.2. Корень n-й степени из комплексного числа

Под корнем n-й степени из к. ч. z понимается множество к. ч., являющихся решениями уравнения

wn = z (2)

Корень n-й степени из комплексного числа z обозначается символом .

Все корни n-й степени из комплексного числа z, заданного в тригонометрической форме

z = r×(cos j + i×sin j),

вычисляются по формуле

,

где k = 0, 1, …, n–1.

Геометрически все корни n-й степени из к. ч. z = r×(cos j + i×sin j) изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен nÖr, а центральные углы между радиусами, проведенными в соседние точки, равны 2p/n.

 

Пример. Вычислить корни четвертой степени из числа –1.

Решение. Число (–1) в тригонометрической форме может быть записано так: – 1 = 1 × (cos p + i×sin p).

Корни четвертой степени из числа (–1) – это комплексные числа

,

где k=0, 1, 2, 3, т.е. комплексные числа

, ,

, .

Аналогичным образом в множестве комплексных чисел можно вычислить корень n-й степени из любого действительного числа. При этом хотя бы один корень из положительного действительного числа будет действительным.

 

Вариант в каждой группе соответствует алфавитному списку группы по порядку нумерации!!! К ЭКЗАМЕНУ!!!

Сдать 2 октября в тетрадке отдельной!!!

Индивидуальное домашнее задание по теме «Комплексные числа»

  1. Вычислить число .
  2. Построить на комплексной плоскости числа .
  3. Представить в показательной, экспоненциальной и тригонометрической форме заданные комплексные числа, изобразить их на комплексной плоскости.
  4. Решить уравнение, корни изобразить на комплексной плоскости.

 

 

Вариант Задачи №1,2
Z1 Z2 Z3
4+3×i –18–15×i –4–6×i
5–4×i –30+24×i –4–5×i
–3–3×i –8–24×i 2+4×i
3–4×i –6+20×i –5+2×i
–6×i –6–30×i –6–3×i
2–3×i 38–3×i –6×i
1+4×i –4+6×i 2–3×i
–3–2×i –6–18×i 2+3×i
3–i –2–16×i –6–3×i
–2–3×i 11–i 6–3×i
–2–4×i 16–20×i 2–2×i
2+2×i 8–2×i 3–3×i
–1+i 2+32×i 4+3×i
1–2×i 12+6×i –3+i
–6+2×i –18–4×i 6+3×i
–2+i 15–25×i 3+4×i
–1–2×i –8–16×i –3+4×i
–2+5×i –6+30×i –3–5×i
4+3×i 12–24×i –1–6×i
–5–3×i –9–3×i –1+3×i
–3–3×i 1–3×i –1+5×i
3–i 1–i –3–i
–1–2×i 18–4×i –5–2×i
–5–i 2+6×i 1–2×i
5–6×i –3+11×i 4+4×i
–2+4×i –8+14×i 5+2×i
1–5×i 24+18×i –2+i
3+2×i 16+4×i –5–5×i
1+i –2–16×i –3+2×i
–2+2×i 4+12×i 2–3×i

 

 

Вариант Задача №3 Задача №4
Z1 Z2
–5 + 5iÖ3 1 + 3i 8z2 + 8z + 7 = 0
2i –6 –3i 3z2 + 3z + 2 = 0
3 – 3iÖ3 –3 – 4i 6z2 – 2z + 4 = 0
6 – 6iÖ3 3 – i 7z2 – 4z + 3 = 0
1 – i –1 + 2i z2 – 4z + 6 = 0
3 + 3i 6i – 1 4z2 + 4z + 3 = 0
–1 – iÖ3 –2 + i 3z2 – 2z +1 = 0
1 – iÖ3 1 – 5i 4z2 – 8z + 7 = 0
–5Ö3 – 5i 6 – i z2 + z + 3 = 0
Ö3 – i 1 + 2i z2 + z + 7 = 0
–5i 3 + 6i 5z2 + z + 1 = 0
4Ö3 + 4i –4 – 5i 4z2 + 6z + 4 = 0
–2 –2iÖ3 –5 –2i 5z2 + 5z + 2 = 0
1 + i 3 + i -3z2 +7z + 5 = 0
–2 –6 + 5i 2z2 + 6z + 5 = 0
1 + iÖ3 4 – 2i z2 – 3z + 8 = 0
6Ö3 + 6i 5 – 4i 3z2 + 4z + 4 = 0
–2 –2i –5 +2i 5z2 + 6z + 2 = 0
Ö3 - i 3 – 5i 3z2 + 2z + 5 = 0
4 – 4i 4 + 6i 5z2 + 4z + 3 = 0
–2 + 2iÖ3 2 – 6i 4z2 – 5z + 4 = 0
–3Ö3 + 3i –3 + 4i z2 – z + 2 = 0
2 – 2iÖ3 –6 + i 3z2 –2z + 2 = 0
Ö3/3 – i –3 + 2i 7z2 –4z + 7 = 0
1 + iÖ3 2 – 4i z2 + 4z + 8 = 0
-Ö3/3 - i 5 – i 8z2 – 6z + 5 = 0
2Ö3 – 2i –5 –3i z2 – 2z + 4 = 0
(–1 – iÖ3)/4 –1 –4i z2 + z + 4 = 0
–1/2 + iÖ3/2 3 – 2i 2z2 + z + 3 = 0
–3i 2i – 1 7z2 + 3z + 3 = 0