Сочетания.

1) Сочетания без повторений.

Определение 3: Сочетания из элементов по элементов () – это расстановки, отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Обозначают: .

Теорема 4: Число сочетаний находится по следующей формуле:

.

Доказательство: .

Следствие: Выведенная формула совпадает с формулой для числа повторений из элементов одного типа и элементов второго типа:

.

Иными словами справедливо равенство: .

Примеры: Выбор делегации, число призеров в соревновании и т. д.

Замечание: , .

Существенное отличие числа сочетаний от числа соответствующих размещений состоит в том, что для размещений важен состав и порядок элементов в подмножествах, а для сочетаний важен только состав.

2) Сочетания с повторениями.

Пусть имеется предметы различных типов. Сколько комбинаций можно сделать из них, если не принимать во внимание порядок элементов? Эту задачу в общем виде можно решать точно так же, как задачу с пирожными.

Задача: В кондитерском магазине продаются пирожные 4 сортов: наполеон, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Зашифруем каждую покупку с помощью нулей и единиц. Напишем столько единиц, сколько куплено наполеонов, затем пишем 0, чтобы отделить пирожные одного типа от другого и т.д. Тогда каждой покупке будет соответствовать последовательность из семи единиц и трех нулей в различном порядке. Число всех таких покупок тогда будет равно:

.

Для числа сочетаний с повторениями существует формула:

.