Общие сведения

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Знание возможностей технических и языковых средств и умение ими пользоваться является необходимым условием успешной работы инженера в САПР. Однако для эффективного использования этих средств он должен хорошо ориентироваться в вопросах математического обеспечения САПР, которое определяет внутреннее содержание процедур взаимодействия инженера с ЭВМ. Знание особенностей математических моделей, методов и алгоритмов решения проектных задач необходимо инженеру для постановки задач и правильной формулировки исходных данных и интерпретации получаемых результатов, при принятии решения об использовании тех или иных компонентов математического обеспечения в процессе решения проектных задач.

Математической моделью (ММ) называют совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т. п.) и связей между ними, отображающих важнейшие для проектирования свойства технического объекта. Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на оперировании ММ. С их помощью прогнозируются характеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и конструкций, проверяется их соответствие предъявляемым требованиям, проводится оптимизация параметров, разрабатывается техническая документация и т.д.

При автоматизации проектирования специфика проектируемых объектов находит свое отражение прежде всего в их ММ. При проектировании таких сложных объектов, как автомобиль или трактор, приходится иметь дело с множеством ММ отдельных агрегатов, узлов, деталей, причем каждый из элементов конструкции требует, как правило, разработки нескольких ММ, описывающих ограниченный круг свойств элемента. Так, относительно простой, на первый взгляд, элемент конструкции, как пневматическое колесо, имеет отдельные ММ для описания его состава, формы, тяговых, упругих и амортизирующих свойств, свойств, определяющих его грузоподъемность, влияние на управляемость и устойчивость движения машины, и т.д.

Несмотря на многообразие ММ, применяемых в САПР автомобиля и трактора, они имеют много общего; в частности, это относится к классификации, требованиям, принципам и методам создания ММ и использования их в процессе моделирования. Прежде чем знакомиться с математическими моделями, остановимся вкратце на таких понятиях, как параметры и фазовые переменные объекта (модели). Параметр — величина, характеризующая свойства или режим работы объекта. Среди параметров объекта проектирования следует выделить показатели эффективности, являющиеся количественной оценкой степени соответствия объекта его целевому назначению. Показатели эффективности делят на показатели надежности, стоимости, массы, габаритных размеров, точности. В зависимости от конкретных условий и типов объектов те или иные из показателей имеют решающее значение. Термин «показатель эффективности» чаще всего используется на высших иерархических уровнях проектирования применительно к сложным системам. Различают выходные, входные и внутренние параметры. Выходные параметры — показатели качества, по которым можно судить о правильности функционирования системы, т.е. это понятие аналогично понятию «показатель эффективности», но применяется к системам на любом иерархическом уровне. Выходные параметры зависят как от свойств элементов, так и от особенностей связи элементов друг с другом, определяемой структурой (конфигурацией) системы. Каждый новый способ связи задает новую структуру и приводит к качественным изменениям в работе системы. К таким же изменениям приводит и смена типа какого-либо элемента, если новый тип качественно отличается от предыдущего. Если структура системы определена, ее выходные параметры зависят только от параметров элементов и параметров внешних условий. Внутренние параметры — параметры элементов. Внешние параметры — параметры внешней по отношению к объекту среды, оказывающие влияние на его функционирование. Иными словами, на каждом иерархическом уровне выходные параметры характеризуют свойства системы, а внутренние — свойства элементов. Следует отметить, что при переходе к новому уровню рассмотрения внутренние параметры могут стать выходными и наоборот. Например, геометрические размеры упругого элемента подвески автомобиля или трактора являются внутренними па¬раметрами подвески, а ее жесткость — выходным параметром. В свою очередь жесткость подвески — внутренний параметр всей колебательной системы. Типичными примерами внешних параметров могут служить параметры нагрузки, влажность и температура окружающей среды и т. п. Введем обозначения: Y = (у1 у2, ..., уn) — вектор выходных параметров некоторой системы; X = (х1х2, ..., хn) — вектор внутренних параметров; Q = {q1 q2, ..., qn) — вектор внешних параметров.

где вид функциональной зависимости Fопределяется структурой системы.

В большинстве случаев связь между выходными, внутренними и внешними параметрами известна не в виде явной зависимости Y от X и Q, а задается в алгоритмической форме, например через числовое решение системы уравнений.

Уравнения, решение которых требуется для определения выходных параметров, обычно являются математическим описанием функционирования проектируемого объекта. В этих уравнениях независимыми переменными могут быть время, частота, пространственные координаты, а зависимыми переменными — фазовые переменные (величины, характеризующие состояние объекта и поэтому называемые также переменными состояния). Примерами фазовых переменных могут служить скорости, силы, напряжения и деформации в механических системах, давления и расходы в гидравлических системах, напряжения, токи и заряды в электрических системах и т.д. Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством.

Классификация математических моделей. В зависимости от характера отображаемых свойств объекта модели делятся на структурные и функциональные.

В процедурах, относящихся к процессу проектирования, преобладает использование математических моделей, отражающих только структурные свойства объекта, например его геометрическую форму, размеры, взаимное расположение элементов в пространстве. Такие модели называют структурными.

Различают структурные ММ топологические и геометрические. В топологических моделях отображаются состав и взаимосвязь элементов объекта. Их часто используют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки элементов к определенным пространственным позициям (например, задача компоновки машины) или к относительным моментам времени (например, при разработке технологического процесса). Топологические модели часто имеют форму графов, таблиц, списков и т. п. В геометрических моделях помимо сведений о взаимном расположении элементов объекта содержатся сведения о форме элементов.

Такие модели могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей, алгебраических соотношений, описывающих области, составляющие тело объекта. При описании конструкции, состоящей из типовых элементов, используются графы и списки.

В проектных процедурах, связанных с функциональным аспектом проектирования, как правило, используются ММ, отражающие закономерности процессов функционирования объектов. Такие модели называют функциональными. Типичная функциональная модель представляет собой систему уравнений, описывающих механические, гидравлические, пневматические, электрические, тепловые процессы. Поскольку характер функционирования объекта в большинстве случаев невозможно описать без учета его структуры, в функциональных ММ отражаются также и структурные свойства объекта. Функциональные модели более сложные по сравнению со структурными и считаются основным типом моделей в САПР.

Существует классификация математических моделей в зависимости от степени детализации описываемых свойств и процессов, протекающих в объекте. Рассмотрим ее применительно к функциональным ММ.

Блочно-иерархический подход к проектированию технических объектов включает в качестве своей основы и иерархию математических моделей. На каждом иерархическом уровне используются свои ММ, сложность которых согласована с возможностями анализа. Деление моделей по иерархическим уровням происходит по степени детализации описываемых свойств и процессов, протекающих в объекте. При этом на каждом иерархическом уровне используют свои понятия «система» и «элементы». Так, система k-то уровня рассматривается как элемент на соседнем более высоком {к-\)-м уровне абстрагирования.

Структуру объекта на любом иерархическом уровне можно представить в виде совокупности элементов и связей между ними. Свойства каждого элемента описываются математической моделью элемента. Она представляет собой соотношения, связывающие внешние по отношению к элементу фазовые переменные. Некоторые подмножества элементов с их связями можно по каким-либо общим признакам объединить в группы или блоки. Математическая модель, полученная непосредственным объединением моделей элементов блока в общую систему уравнений, называется полной моделью блока. Характерной ее особенностью является присутствие в ней вектора внутренних фазовых переменных, т. е. она описывает и состояние каждого из элементов блока.

При большом количестве элементов порядок системы уравнений становится чрезмерно большим и требуются упрощения. При переходе к более высокому иерархическому уровню упрощения основаны на исключении из модели вектора внутренних переменных. Такая модель называется макромоделью. Она уже не описывает процессы внутри блока, а характеризует только процессы взаимодействия данного блока с другими в составе системы блоков. Понятие макромоделей имеет существенное значение в блоч-кно-иерархическом подходе к проектированию. Замена полных моделей блоков их макромоделями позволяет перейти на более высокий иерархический уровень, где блок низшего уровня выступает уже в качестве элемента нового, укрупненного блока (или системы полностью).

Существует также понятие многоуровневых моделей, когда одни блоки системы описываются полными моделями, а другие — макромоделями.

В зависимости от сложности объекта при его проектировании используют большее или меньшее число уровней абстракции. Число используемых иерархических уровней при проектировании конкретных объектов зависит от традиций предприятия, принятой организации САПР, возможностей используемого математического и программного обеспечения. Увеличение числа уровней позволяет использовать более простые ММ на каждом из них, однако усложняет согласование результатов, полученных на различных уровнях.

В иерархии функциональных моделей для большинства проектируемых сложных объектов объединение уровней, родственных по характеру используемого математического аппарата, приводит к образованию трех укрупненных уровней: микро-, макро- и метауровень.

На микроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Фазовые переменные являются в данном случае функциями нескольких независимых переменных, таких, как пространственные координаты и время, при этом и пространство, и время непрерывны.

Примерами таких моделей служат дифференциальные уравнения в частных производных — уравнения упругости, электродинамики, теплопроводности, гидродинамики, газовой динамики, которые описывают напряженно-деформированное состояние деталей механических конструкций, поля электрического потенциала и температуры и т. п.

К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся механические напряжения и деформации, давления, температуры, электрические потенциалы, концентрации частиц, плотности токов. В связи с учетом характера воздействий и фазовых переменных, распределенных в пространстве, эти модели называют распределенными. Подобные модели используются, например, для определения распределения напряжений в деталях конструкции, распределения температуры по поверхности и внутри накладок фрикционного сцепления в процессе его включения, исследования процесса взаимодействия пневматического колеса с дорогой.

Анализ распределенных моделей сводится к решению краевых задач математической физики и представляет значительные трудности вычислительного характера. Использование их ограничивается случаями объектов с малым числом участков. Усложнение задачи при увеличении протяженности пространственных и временных областей приводит к необходимости перехода к следующему иерархическому уровню — макроуровню.

На макроуровне производится дискретизация пространства с выделением в качестве элементов отдельных деталей. Такая дискретизация означает переход от распределенных моделей к сосредоточенным, при этом из числа независимых переменных исключают пространственные координаты. Элементами этого уровня яв¬ляются объекты, которые на микроуровне рассматривались как системы (например, валы, пружины, элементы сопротивления). Параметры этих элементов, будучи на микроуровне выходными, становятся внутренними. Примерами выходных параметров макроуровня являются касательная сила тяги колеса, время и работа буксования фрикционного сцепления, уровень нагрузки в отдельных элементах конструкции.

Математические модели на макроуровне представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые в частных случаях решения статических задач превращаются в системы алгебраических или трансцендентных уравнений. Для их получения и решения используют соответствующие численные методы. В качестве фазовых переменных фигурируют силы, скорости, температуры, расходы, электрические напряжения, токи и т.д. Они характеризуют проявления внешних свойств элементов при их взаимодействии между собой и внешней средой.

С увеличением числа элементов системы возможности решения задач с использованием ММ макроуровня резко сужаются. В этом случае целесообразен переход к следующему, более высокому иерархическому уровню.

На метауровне с помощью дальнейшего абстрагирования от характера физических процессов удается получить приемлемое по сложности описание процессов, протекающих в проектируемых объектах. Математические модели на метауровне — системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы алгебраических уравнений, системы логических уравнений, имитационные модели систем массового обслуживания. Здесь роль элементов и внутренних параметров выполняют системы и выходные параметры предыдущего иерархического уровня. Так, элементами автомобиля или трактора на метауровне можно считать двигатель, коробку передач, ведущий мост, колесо. Моделирование на метауровне позволяет выполнить тягово-динамический расчет автомобиля, тяговый расчет трактора, решить вопросы компоновки машины, выполнить основные расчеты на прочность и сопротивление усталости деталей.

Математические модели различают также в зависимости от формы их представления.

Инвариантная форма — запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели.

Алгоритмическая форма — запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма. Вычисление значений искомых величин производится путем решения систем уравнений.

Аналитическая форма — запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели. При этом модели в аналитической форме обычно представляют собой явные выражения выходных параметров как функций внутренних и внешних параметров. С точки зрения удобства реализации на ЭВМ они выгодно отличаются от других, однако их сложно и не всегда возможно получить.

Схемная форма (называемая также графической) — представление модели на некотором графическом языке, например на языке графов, эквивалентных схем, диаграмм и т. п. Графические формы удобны для восприятия человеком. Использование таких форм возможно при наличии правил однозначного истолкования элементов чертежей и их перевода на язык инвариантных или алгоритмических форм.

Математические модели в алгоритмической и аналитической формах называют соответственно алгоритмическими и аналитическими. Среди алгоритмических моделей важный класс составляют имитационные модели, предназначенные для имитации происходящих в объекте процессов при задании различных зависимостей входных воздействий от времени. Собственно имитацию названных процессов называют имитационным моделированием. Результат имитационного моделирования — зависимости фазовых переменных в избранных элементах системы от времени. Примерами имитационных моделей могут служить модели разгона и торможения автомобиля и трактора, входа автомобиля в поворот, переезда транспортного средства через препятствие, модель рабочего цикла бульдозера и т.д.

Требования к математическим моделям. Основными требованиями, предъявляемыми к ММ, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.

Адекватность. Модель считается адекватной, если она отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения предсказанных с помощью модели значений выходных параметров объекта с истинными значениями этих параметров.

Точность модели оценивается относительной погрешностью

где ум — выходной параметр, рассчитанный с помощью модели; у_ист — тот же выходной параметр, имеющий место в моделируемом объекте.

Количественная оценка точности модели в большинстве случаев вызывает затруднения по ряду причин.

Во-первых, реальные объекты и их модели характеризуются не одним, а несколькими выходными параметрами, поэтому для возможности сопоставления моделей друг с другом используют сведение векторной оценки точности к скалярной.

Пусть объект характеризуется m выходными параметрами. Относительные погрешности е,- по каждому из них будут различны. В связи с этим для общей оценки погрешности модели ем по совокупности учитываемых выходных параметров обычно используют одну из норм вектора ε = (ε1,е2, ...,εm):

Во-вторых, так как характер проявления свойств объекта зависит от особенностей его взаимодействия с внешней средой и другими объектами системы, то и показатели точности отображения этих свойств в модели будут зависеть от условий функционирования объекта. В результате оценка точности становится неоднозначной.

Кроме того, значения утг обычно отождествляют с экспериментально полученными. Однако погрешности эксперимента во многих случаях оказываются соизмеримыми с погрешностью ММ или даже превышают их. Чтобы уменьшить влияние этих факторов на результаты оценки погрешности модели, сравнение моделей проводят по результатам их использования в некоторых стандартных ситуациях, соответствующих наиболее характерным услови¬ям работы реального объекта, причем число этих ситуаций стараются максимально ограничить.

Конечно, ММ должна иметь высокую точность отображения свойств объекта в конкретных условиях его эксплуатации. Однако целью ее создания является возможность использования модели для исследования поведения объекта в некоторых областях изменения его внутренних и внешних параметров. Поскольку выходные параметры системы являются функциями внешних Q = (ql q2,..., qk) и внутренних X = (х1 х2,.., хn) ее параметров, погрешность εм зависит от Q и X. Обычно внутренние параметры ММ выбираются из условия минимизации погрешности εм в некоторой точке Qном пространства внешних параметров, и величина погрешности модели становится функцией Q.

Если задаться предельно допустимой погрешностью 5, то в пространстве внешних параметров можно выделить область, в которой выполняется условие εм < ε.

Такую область называют областью адекватности (ОА) модели. Возможно введение индивидуальных предельных значений δ_j- для каждого выходного параметра и определение О А как области, в которой одновременно выполняются все m условий вида |ε_j|≤δ_j.

Графическая иллюстрация ОА для двумерного пространства внешних параметров Q = {q1, q2) представлена на рис. 2.1, где область адекватности ограничена линиями j = 1,j = 2 и j'= 3, задаваемыми уравнениями

Определение областей адекватности для конкретных моделей — сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат. Эти затраты и трудности представления ОА быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Определение ОА — более трудная задача, чем, например, задача параметрической оптимизации, поэтому для моделей вновь проектируемых объектов ОА не рассчитывают. Однако для моделей унифицированных элементов расчет ОА становится оправданным в связи с однократностью определения и многократностью их использования при проектировании различных систем. Знание ОА позволяет правильно выбирать модели элементов из числа имеющихся и тем самым повышать достоверность результатов машинных расчетов.

В общем случае ОА (см. рис. 2.1) может иметь произвольную форму и неудобна в использовании, поэтому на практике вместо истинных ОА применяют те или иные их аппроксимации. Наиболее просто представляются и используются сведения об областях, имеющих формулу гиперпараллелепипеда, который задается р двусторонними неравенствами:

В библиотеку моделей элементов наряду с алгоритмом, реализующим модель, и номинальными значениями параметров должны включаться граничные значения внешних параметров q'k q^//k, задающие О А. На рис. 2.1 область адекватности аппроксимирована параллелепипедом ABCD. Такое представление удобно для двумерных случаев. Возможно использование и других аппроксимаций ОА, например областей с линеаризованными границами в виде участков гиперплоскостей, областей в форме гиперсфер и т. п.

Универсальность. Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в них свойств реального объекта и определяется возможностью использования модели для анализа более или менее многочисленной группы однотипных объектов, а также числом доступных для анализа режимов функционирования. Использование машинных методов проектирования станет неудобным, если в процессе анализа объекта при каждом изменении режима функционирования пользователю потребуется смена ММ.

Универсальность модели в первую очередь зависит от числа и состава учитываемых в модели внешних и выходных параметров. Увеличение их расширяет применимость модели, но существенно усложняет ее разработку. Тем не менее степень использования универсальных ММ в САПР является одним из основных критериев ее выбора.

Экономичность. Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации, а именно затратами машинного времени и памяти. Общие затраты на выполнение в САПР какой-либо проектной процедуры зависят как от особенностей выбранных моделей, так и от методов решения.

В большинстве случаев при реализации численного метода происходят многократные обращения к модели элемента, входящего в состав моделируемого объекта. Тогда удобно экономичность модели элемента характеризовать затратами машинного времени, получающимися при обращении к модели, а число обращений к модели должно учитываться при оценке экономичности метода решения.

Экономичность модели по затратам памяти оценивается объемом оперативной памяти, необходимой для реализации модели.

Требования широких областей адекватности, высокой степени универсальности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой, являются противоречивыми. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих требований оказывается неодинаковым в различных применениях. Данное обстоятельство обусловливает использование в САПР многих моделей для объектов одного и того же типа.

Методы получения математических моделей. Математическая модель технического объекта в САПР обычно создается пользователем на основе уже разработанных и имеющихся в библиотеке ММ элементов и соответствующего программного обеспечения.

Получение моделей элементов (моделирование элементов) в общем случае — процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает разработчик модели. В то же время такие операции, как расчет чиcленных значений параметров модели, определение областей адекватности и др., алгоритмизированы и решаются на ЭВМ. Поэтому моделирование элементов обычно выполняется специалистами конкретных технических областей с помощью традиционных средств экспериментальных исследований и средств САПР.

Методы получения функциональных моделей элементов делят на теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели. Основу получаемых моделей обычно составляют системы уравнений, отражающих зависимости фазовых переменных. Такие модели чаще всего относятся к алгоритмическим и адекватны в сравнительно широких диапазонах изменения переменных.

Экспериментальные методы основаны на использовании экспериментально полученных зависимостей между параметрами и фазовыми переменными объекта. Эксперименты при этом могут проводиться на самих объектах, на их физических моделях (макетах и стендах) или с использованием их полных ММ. Для целей моделирования используются пассивные и активные эксперименты. При пассивных экспериментах условия опыта остаются постоянными. В случае использования активного целенаправленного эксперимента опыты проводятся по заранее разработанному плану, определяющему количество опытов и значения факторов в каждом опыте. В зависимости от методов планирования преимущества активных экспериментов перед пассивными могут выражаться в сокращении сроков разработки модели и в получении оптимального положения области ее адекватности.

В процессе преобразования экспериментальных данных в ММ возможны их аппроксимация, усреднение, статистическая обработка. Последнее характерно при постановке пассивных экспериментов, когда связь между выходными и внешними параметрами носит не функциональный, а статистический характер. Для получения модели в такой ситуации часто применяют регрессионный анализ.

Экспериментальные методы получения ММ удобны для моделирования безынерционных объектов с относительно гладкими зависимостями между переменными. Результатом применения этих методов становятся модели, имеющие частный характер.

Несмотря на неформальный характер большинства операций, используемых при разработке моделей элементов различных объектов, имеется ряд общих положений и приемов. Достаточно общий характер имеют методика макромоделирования, математические методы планирования экспериментов, а также алгоритмы формализуемых операций расчета численных значений параметров и определения ОА.

В общем случае методика получения ММ элементов объекта включает в себя этапы, приведенные ниже.

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень ее универсальности.

2. Сбор априорной информации о свойствах моделируемого объекта. Источниками собираемых сведений могут служить знания и опыт инженера, научно-техническая литература, прежде всего справочная, ММ и результаты эксплуатации существующих аналогичных объектов и т. п.

3. Синтез структуры ММ — получение общего вида уравнений модели без конкретизации численных значений фигурирующих в них параметров. Часто проектировщику модели удобнее оперировать не уравнениями, а эквивалентными схемами, с помощью которых инженеру проще устанавливать физический смысл различных элементов ММ.

4. Определение численных значений параметров модели. Данная задача решается как задача минимизации погрешности модели заданной структуры. Возможны следующие приемы выполнения этого этапа:

• использование специфических расчетных соотношений с учетом собранных на этапе 2 сведений;

• решение экстремальной задачи, в которой в качестве целевой функции выбирается степень совпадения известных значений выходных параметров объекта с результатами использования модели, а управляемыми параметрами являются параметры

модели;

• проведение экспериментов и обработка полученных результатов.

5. Оценка точности полученной модели и определение области

ее адекватности. Для оценки точности должны использоваться

значения Уист, которые не фигурировали в задаче минимизации

погрешности. При неудовлетворительных результатах оценки выполняют итерационное приближение к желаемому результату повторением этапов 3 — 5.

6. Представление полученной модели в форме, принятой в используемой библиотеке моделей.

Наличие в методике макромоделирования эвристических и формальных операций обусловливает целесообразность разработки моделей элементов в диалоговом режиме с ЭВМ. Язык взаимодействия человека с ЭВМ должен позволять оперативный ввод исходной информации о структуре модели, об известных характеристиках и параметрах объекта, о плане экспериментов. Диалоговое моделирование должно иметь программное обеспечение, в котором реализованы алгоритмы статистической обработки результатов экспериментов, расчета выходных параметров эталонных моделей и создаваемых макромоделей, в том числе расчета параметров по методам планирования экспериментов и регрессионного анализа, алгоритмы методов поиска экстремума, расчета ОА и др. Пользователь, разрабатывающий модель, должен иметь возможность менять уравнения модели, задавать их в аналитической, схемной или табличной формах, обращаться к нужным подпрограммам и тем самым оценивать результаты своих действий, приближаясь к получению модели с требуемыми свойствами.

Не следует, однако, считать, что необходимость использования при получении моделей элементов в основном неформальных методов снижает уровень автоматизации выполнения большинства проектных процедур. Дело в том, что при моделировании любого технического объекта используется типовой набор элементов, причем количество типов элементов в объектах определенного назначения, как правило, существенно меньше количества самих элементов. Более того, эти типы элементов повторяются во многих проектируемых объектах не только аналогичного, но и иного назначения, и даже в объектах другой физической структуры. Поэтому получение моделей элементов требуется однократно при многократном их использовании в моделях различных объектов; это позволяет для каждого типа элементов тщательно отработать ряд моделей, различающихся показателями точности, экономичности и универсальности. Модели всех унифицированных типов элементов в САПР данной предметной области заносят в библиотеку моделей элементов. При эксплуатации САПР повседневно решаемыми задачами становятся задачи формирования и анализа моделей систем объекта.

В отличие от процедур получения ММ элементов, процедуры получения модели блока или всего объекта могут быть полностью формализованы. Используемые при этом методы инвариантны по отношению ко многим областям техники. Примерами могут служить методы перемещений в механике, методы узловых потенциалов в электротехнике и др.

При моделировании на метауровне часто принимаются допущения о однонаправленности распространения внешних воздействий от входов к выходам элементов, т.е. предполагается, что изменение состояния элемента-нагрузки не передается к элементу-источнику и все внешние связи разделяются на входные и выходные. На макроуровне подобные допущения чаще всего неправомерны. Используемые здесь методы более сложны в реализации, их инвариантность обусловлена наличием аналогий физических систем, поэтому такие методы называют методами моделирования на основе прямой аналогии.

2.2. Преобразование математических моделей в процессе получөния рабочих программ анализа

Процедура анализа в САПР заключается в определении свойств объекта, отражаемых в его ММ, на основе решения уравнений. Реализация ММ на ЭВМ подразумевает выбор численного метода решения уравнений и преобразование их в соответствии с осо-бенностями выбранного метода. Конечная цель преобразований — получение рабочей программы в виде последовательности эле-ментарных действий над числами (арифметических и логических операций).

Все преобразования исходной ММ в последовательность эле-ментарных действий ЭВМ выполняются автоматически по специ-альным программам, создаваемым разработчиком САПР. Пользо-ватель САПР должен лишь указать, какие программы из имею-щихся он хочет использовать. Однако ему важно знать методы ре­шения уравнений, прежде всего для правильного выбора приклад-ных программ в конкретных ситуациях. Обычно в САПР имеется несколько программ одинакового целевого назначения, но с раз-ными реализованными в них численными методами. Программы различаются затратами машинного времени и памяти, вероятно-стью получения решения, точностью результатов. Значения пере-численных показателей зависят от многих факторов. Их успешный прогноз при анализе конкретного заданного объекта основан на знании особенностей численных методов. Кроме того, знание численных методов позволяет инженеру в необходимых случаях со-ставлять свои оригинальные программы решения проектных задач. При этом для инженера важно не абстрактгюе знание числен­ных методов, а знание показателей эффективности и резервов повышения эффективности методов в условиях их применения к задачам проектирования.

Подробно әти методы рассматриваются при изучении дисциплин «Математика» и «Информатика». Здесь остановимся на них лишь вкратце.

Процесс преобразования ММ, относящихся к различным иерархическим уровням, иллюстрирует рис. 2.2.

Ветви 1 соответствует постановка задачи, относящейся к мик-роуровню. Описание объекта в данном случае обычно сводится к

Рис. 2.2. Преобразование математической модели

составлению системы дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), численные методы решения которых основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене переменных конечным множе-ством их значений в заданных пространственном и временном интервалах, алгебраизация — в замене производных алгебраичес-кими соотношениями.

Используют два основных подхода к дискретизации и алгебра­изации задачи, составляющих сущность методов конечных разно-стей и конечных элементов.

Если ДУЧП стационарные (описывают статическое состояние и время не фигурирует в качестве независимой переменной), дис-кретизация и алгебраизация преобразуют систему ДУЧП в систе-му алгебраических уравнений (АУ) — ветвь 2 (см. рис. 2.2). Если система ДУЧП нестационарная, дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящими из двух этапов: устранение про­изводных по пространственным координатам (ветвь 3), в резуль-тате чего получается система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), и устранение производных по времени (ветвь 4 или ветвь 9).

Для решения ОДУ при заданных начальных условиях разрабо-тано большое количество численных методов. Как правило, әти методы являются пошаговыми: на каждом шаге интегрирования производится алгебраизация уравнений с помощью аппроксими-рующих выражений, связывающих производные переменных по времени в некоторой точке t_к со значениями переменных в этой же точке и в одной или нескольких соседних точках. Каҗдый ме­тод использует свое аппроксимирующее выражение и алгоритм его вычисления.

С точки зрения пользователя методы отличаются степенью уни-версальности, скоростью вычислений и требованиями к объему оперативной памяти. В САПР широко используются методы Гира, Ддамса и Рунге — Кутта.

Алгебраические уравнения в общем случае нелинейные. Если нелинейность несущественная, уравнения предварительно лине-аризуют (см. рис. 2.2, ветвь 6). Основу решения системы нелинейных алгебраических уравнений (ветвь 5) составляют итерацион-ные методы.

Различия между методами в основном заключаются в способе вычисления поправки на каҗцом шаге итерации. Необходимо, что-бы^; итерационный процесс был сходящимся к решению задачи. Однако сходимость имеет место не всегда; для каждого метода существуют свои условия сходимости, поэтому важной характе-ристикой метода является его надежность, оцениваемая как веро-ятность получения решения с заданной точностью. Очевидно, что такая вероятность зависит не только от метода, но и от особенно-стей решаемой системы уравнений. Сравнение методов между со-бой следует производить также с учетом объема требующихся вычислений и затрат машинной памяти.

В САПР для решения систем нелинейных алгебраических урав­нений обычно применяют метод Ньютона, как обладающий наибольшей эффективностью по показателю затрат машинного вре-мени. Основным его недостатком является то, что сходимость к решению имеется не всегда, причем заранее предсказать ее нали-чие или отсутствие довольно сложно. Стремление повысить на­дежность метода привело к появлению ряда его модификаций. В случаях болыиой размерности задач при нехватке емкости опе­ративной памяти вместо метода Ньютона применяют метод по-следовательной верхней релаксации, в отдельных случаях — ме­тоды Якоби и Зейделя.

Ветви 7 (см. рис. 2.2) соответствует решение систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Методы простой итерации, Яко­би, Зейделя и др. используются редко из-за малой скорости схо­димости. Наиболее часто применяется метод Гаусса и его разно-видности.

Ветви 8 соответствует преобразование исходного описания за­дачи, относящейся к макроуровню, в систему ОДУ с начальны-ми условиями. Если это система нелинейных ОДУ, дальнейшее преобразование происходит по ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если это система линейных ОДУ — осуществляется переход к системе ЛАУ (ветвь 9).

Для анализа объектов на метауровне осуществляют либо пере­ход к системе ОДУ (ветвь 10), либо переход к системам логичес-ких уравнений, моделям массового обслуживания или аналити-ческим моделям, отображающим упрощенно технико-экономические показатели объекта (ветвь 11). Сведение этих форм моде-лей в последовательность элементарных вычислительных опера-ций (ветвь 12) не вызывает затруднений.