Урок 7. Метод узловых напряжений

Лекция № 4

Как известно, задача полного анализа режима цепи решается при составлении и решении системы уравнений (контурных и узловых) по законам Кирхгофа. При этом общее число составляемых уравнений должно равняться сумме независимых узлов и контуров. Для сложных многоконтурных цепей с большим числом узлов (а, именно, таковы радиоэлектронные цепи) число составляемых уравнений настолько большое, что это затрудняет вычисления и существенно снижает их точность. Необходим поиск более простых методов расчета, вытекающих из законов Кирхгофа.

Среди более простых, инженерных методов полного анализа режима цепи выделяют методы контурных токов и узловых напряжений.

Остановимся на рассмотрении метода узловых напряжений как наиболее удобного, универсального и чаще применяемого. Метод контурных токов вы изучите дома.

Идея и особенности метода узловых напряжений следующие:

1) ограничиваются составлением узловых напряжений по ЗТК;

2) в качестве неизвестных принимают так называемые узловые напряжения;

3) силы токов цепей записывают как произведение напряжений на проводимости элементов.

Кроме того, для упрощения расчетов, заменяют все источники на источники токов.

Узловыми напряжениями называют разности потенциалов между независимыми узлами цепи и одним и тем же заранее выбранным зависимым узлом, называемым базисным или, короче, базисом.

Потенциал базисного узла принимается нулевым. Тогда узловое напряжение совпадает с предполагаемым потенциалом независимого узла.

Направления узловых напряжений – от независимого узла к базисному.

При расчете напряжения между независимыми узлами выражают через узловые.

С применением метода узловых напряжений (или узловых потенциалов) число составляемых уравнений равно числу независимых узлов. Чем сложнее цепь, тем больше в ней элементов и чем сложнее её структура, тем меньше число уравнений метода узловых напряжений по сравнению с числом уравнений, составляемым по обоим законам Кирхгофа.

Чтобы отличать ранее рассмотренную методику составления уравнений по обоим законам Кирхгофа от метода узловых напряжений, первый из упомянутых называют методом токов ветвей.

Для иллюстрации методики обратимся к конкретному примеру.

Опишем режим резистивной линейной мостовой цепи с источником тока j.

На этой схеме для удобства обозначены не сопротивления, а проводимости элементов.

В качестве базиса принят узел 0. Узловые напряжения выделены стрелками и обозначены как V₁, V₂, V₃. Направления узловых напряжений приняты от независимых узлов 1, 2, 3 к базисному с номером 0.

Для обоснования методики и для уяснения связи её с методом токов ветвей составим уравнения по ЗТК, выражая токи ветвей через проводимости и напряжения их элементов.

Выразим все записанные напряжения элементов через узловые напряжения. Чтобы выделить узловые напряжения от других, обозначим их буквой V.

Как видно из схемы:

u₁ = V₁; u₅ = –V₂; u₄ = –V₃.

Остальные напряжения, как напряжения на ветвях, расположенных между независимыми узлами, есть разности узловых напряжений (потенциалов узлов) т.е.:

u₂ = V₁ – V₂; u₃ = V₂ – V₃; u₆ = V₁ – V₃.

При составлении этих разностей учтено, что направления отсчетов напряжений элементов совпадают с направлением отсчета тока в них. Кроме того, учтено, что ток течет от точки с более высоким потенциалом к точке цепи с низким потенциалом. Поэтому падения напряжения на пассивных элементах имеют направление от узла с более высоким потенциалом. Значит это упорядоченная разность более высокого и низкого потенциалов, т.е. узловых напряжений.

Поэтому, считаем, что V₁ > V₂, а V₂ > V₃ и, значит, V₁ > V₃.

Итак, при записи напряжений элементов как разности узловых напряжений нужно следовать правилу:

Как уменьшаемое всегда пишут напряжение узла, от которого течет ток (т.е. от которого направлена стрелка отсчета тока).

Подставив выражения для напряжений элементов в исходные уравнения, получим систему:

Объединив коэффициенты при узловых напряжениях, получим:

Это система уравнений относительно узловых напряжений – основные уравнения метода.

Перейдем к матричной записи полученных уравнений.

Здесь первый сомножитель – квадратная матрица, каждый размер которой равен числу независимых узлов. Каждый элемент этой матрицы есть некоторая проводимость. Поэтому данную матрицу обозначают как и называют матрицей узловых проводимостей.

Второй сомножитель есть матрица-столбец (или вектор), составленный из искомых узловых напряжений. Обозначим его как и назовем вектором узловых напряжений.

В правой части матричной записи имеется вектор задающих токов источников, подключенных к независимым узлам. Обозначим его как .

Если к некоторому независимому узлу подключен не один, а несколько источников тока, то соответствующий элемент вектора задающих токов записывают как алгебраическую сумму сил токов всех источников, подключенных к узлу. При этом силу задающих токов, протекающих к узлу, записывают со знаком "+". Среди слагаемых пишут и токи "бывших" источников напряжения, предварительно преобразованных в эквивалентные источники тока.

В сокращенной записи уравнения узловых напряжений выглядят следующим образом:

.

Эта запись выражает закон Ома в матричной форме.

Рассмотрим структуру матрицы узловых проводимостей.

Обозначим её элементы как , где i – номер строки, а j – номер столбца.

1. Сначала рассмотрим элементы матрицы, находящиеся на её главной диагонали, т.е. элементы из множества . Как видно, при описании линейной цепи, каждый из этих диагональных элементов положителен, т.е. G_ii > 0. Кроме того, каждый диагональный элемент есть сумма проводимостей всех пассивных элементов, подключенных к i-тому независимому узлу.

Такие элементы матрицы называют собственными или полными проводимостями узлов (точнее, это проводимости звезд из пассивных элементов, подключенных к независимым узлам).

2. Теперь заметим, что все внедиагональные элементы матрицы, т.е. элементы из множества , где i ¹ j, отрицательны и совпадают по модулю с проводимостью ветви, включенной между i– ым и j- ым узлами. Их называют взаимными проводимостями узлов или проводимостями связи между узлами i и j.

3. Для цепей с независимо действующими источниками, к которым относится и исследуемая цепь, матрица узловых проводимостейсимметричная, т.е. G_ij = G_ji.

Учитывая отмеченные свойства, можно составлять необходимые матрицы непосредственно по схеме цепи, без дополнительных преобразований из уравнений Кирхгофа. Следовательно, процедура составления уравнений по методу узловых напряжений не сложнее методики составления уравнений по методу токов ветвей.

Как нетрудно заметить, число уравнений, которые мы составили по методу узловых напряжений, вдвое меньше, чем число уравнений, которые необходимо составить при непосредственном применении законов Кирхгофа для нахождения шести сил токов в ветвях. Для более сложных цепей этот разрыв ещё больше.

Заметим также, что полученная матричная запись основных уравнений метода универсальна. Она пригодна для расчета режима любых линейных цепей, в том числе и динамических. В этом ещё одно преимущество метода узловых напряжений.

Рассмотрим процедуру расчета методом узловых напряжений путем составления уравнений по схеме цепи.

1. На схеме цепи выделяют базисный узел и направляют к нему стрелки узловых напряжений от независимых узлов. Источники напряжения заменяют на эквивалентные источники тока. Отмечают на схеме проводимости элементов.

2. Формируют по схеме замещения цепи матрицу узловых проводимостей , а также векторы и . Составляют основное уравнение вида .

3. Ищут узловое напряжение с помощью матричной формулы: в которой – матрица, обратная матрице узловых проводимостей.

4. По найденному множеству узловых напряжений в случае необходимости ищут остальные напряжения, а также силы токов элементов, применяя любой подходящий метод расчета.