Частные производные функции нескольких переменных

Непрерывность функции нескольких переменных

Функция называется непрерывной в точке если она

1) определена в точке и в некоторой ее окрестности,

2) существует предел

3) этот предел равен частному значению

Условие непрерывности функции в точке символически может быть выражено так:

причем точка стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Если обозначим то равенство можно переписать так:

Это условие непрерывности функции в точке в разностной форме.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

Теорема. Если функция определена и непрерывна в замкнутой области, то она ограничена и достигает своего наименьшего и наибольшего значений (без доказательства).

Если в некоторой точке не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции в точке, то точка называется точкой разрыва функции

Функция двух переменных может иметь не только точки разрыва, но и линии разрыва. Например, для функции любая точка параболы является точкой разрыва. Говорят, что данная функция имеет линию разрыва.

Аналогично, говорят, что функция трех переменных имеет поверхность разрыва – параболоид вращения

Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю.

Частная производная по от функции обозначается одним из символов:

Таким образом, по определению,

Аналогично частная производная по от функции определяется как предел отношения частного приращения функции к приращению при стремлении к нулю. Частная производная по обозначается одним из символов:

Заметив, что вычисляется при неизменном а при неизменном мы можем определения частных производных сформулировать по-другому.

Частной производной по от функции называется производная по вычисленная в предположении, что постоянная.

Частной производной по от функции называется производная по вычисленная в предположении, что постоянная.

Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций одного переменного, и только требуется каждый раз помнить, по какому переменному ищется производная.

Пример 1.

Пример 2.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Пример 3.

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных состоит в следующем (смотрите соответствующий рисунок в предыдущей лекции):

где угол между осью и касательной в точке к линии пересечения поверхности и плоскости

где угол между осью и касательной в точке к линии пересечения поверхности и плоскости