Смешанные стратегии и их свойства

Если матричная игра не имеет седловой точки, т.е. , то применение минимаксных стратегий приводит к тому, что для любых из игроков выигрыш не меньше , а проигрыш не больше . Решение находят, применяя смешанные стратегии.

Смешанной стратегией игрока А называется вектор , где

и , , (3.9)

- вероятность, с которой игрок А выбирает свою чистую стратегию .

Смешанной стратегией игрока B называется вектор , где

и , , (3.10)

- вероятность, с которой игрок B выбирает свою чистую стратегию .

Чистые стратегии являются частным случаем смешанных. Например, если – чистая стратегия игрока А, то вероятность её выбора равна 1, т.е. . Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайно и независимо друг от друга, то игра принимает случайный характер. Случайной становится и величина выигрыша игрока А (проигрыша игрока В). Поэтому говорить можно лишь о средней величине выигрыша. Эта величина является функцией смешанных стратегий и определяется по формуле математического ожидания:

(3.11)

Функция называется платежной функцией игры с матрицей .

Смешанные стратегии и называют оптимальными, если они образуют седловую точку для платежной функции т.е. удовлетворяют неравенству

(3.12)

Значение платежной функции при оптимальных смешанных стратегиях и , т.е. называют ценой игры. Совокупность оптимальных стратегий и цены игры составляет решение игры.

Стратегия является доминирующей над стратегией , если все элементы l-й строки не меньше соответствующих элементов i-й строки, т.е. , ( стратегия доминируемая).

Стратегия является доминирующей над стратегией , если все элементы k-го столбца меньше или равны соответствующим элементам j-го столбца, т.е. , ( стратегия доминируемая).

Исключение из платежной матрицы доминируемых стратегий (ими игрокам пользоваться заведомо невыгодно) позволяет уменьшить ее размерность, а это упрощает решение игры. Вероятность применения доминируемых стратегий равна нулю.

Теорема 1. Оптимальные смешанные стратегии и соответственно игроков А и В в матричной игре с ценой будут оптимальными и в матричной игре с ценой , где .

Следовательно, платежную матрицу, имеющую отрицательные числа, можно преобразовать в матрицу с положительными числами. В последней матричной игре цена игры будет положительная: .

Теорема 2. Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях.

Теорема 3. Для того чтобы смешанные стратегии и были оптимальными для игроков А и В в игре с матрицей и выигрышем , необходимо и достаточно выполнение неравенств

, (3.13)

, (3.14)

Следствия.

1. Если игрок А применяет оптимальную смешанную стратегию , а игрок В любую чистую стратегию , то выигрыш игрока А будет не меньше цены игры .

2. Если игрок В использует оптимальную смешанную стратегию , а игрок А – любую чистую стратегию , то проигрыш игрока В не превысит цену игры .

Пример 11. Упростить платежную матрицу:

Решение: