Объем тела вращения

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть имеем некоторое тело. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет функцией от Предположим что непрерывная функция, а также, что все тело заключено между двумя перпендикулярными к оси плоскостями, пересекающими ее в точках и Разобьем произвольным образом тело на слоев с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси и пересекающих ее в точках В каждом частичном промежутке выберем произвольную точку и для каждого значения построим цилиндрическое тело , образующая которого параллельна оси а направляющая представляет собой контур сечения тела плоскостью Объем такого элементарного цилиндра с площадью основания и высотой равен Объем всех цилиндров будет: Предел этой суммы при (если он существует) называется объемом данного тела:

Пример. Вычислить объем трехосного эллипсоида:

В сечении эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости и отстоящей на расстоянии от нее, получится эллипс:

c полуосями .

Но площадь такого эллипса равняется

Поэтому

В частности, если эллипсоид превращается в шар, и

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции В этом случае Применяя общую формулу получим формулу для вычисления объема тела вращения:

Аналогично можно получить формулу для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции

Лекция 18.