Расширение понятие предела.

-¥ и +¥ - несобственные числа.

Определение 1. x_n→+¥ при n→¥, если

(последовательность неограниченна сверху).

Определение 2. x_n→-¥ при n→¥, если

(последовательность неограниченна снизу).

Пример 1.Пусть {x_n}={n}={1,2,…,n,…}. Какое бы число M>0 мы ни взяли, переменная x_n при возрастании n «перерастет» М, т.е. для всех n, начиная с некоторого, будет . Следовательно, переменная x_n=n – б.б. при n→¥ и.

Пример 2. Пусть {x_n}={-n}={-1,-2,…,-n,…}. Какое бы число M>0 мы ни взяли,. для всех n, начиная с некоторого, будет . Следовательно, переменная x_n= -n – б.б. при n→¥ и .

Пример 3. Пусть {x_n}={(-1)ⁿ×n}={-1,2,-3,…}. Имеем . Следовательно, какое бы число M>0 мы ни взяли, для всех n, начиная с некоторого, будет . Следовательно, переменная x_n=(-1)ⁿ×n – б.б. при n→¥ и .

Пример 4.Покажем, что если ½q½>1, то qⁿ – бесконечно большая при n→¥.

Возьмем любое сколь угодно большое число М>0 и рассмотрим неравенство ½qⁿ½>M (*)

Имеем ½qⁿ½>M Û½q½ⁿ>MÛÛ (т.к. ½q½>1, то )

Если теперь в качестве N взять N=, тогда при n>N окажется, что½qⁿ½>М.

А это означает, что х_n=qⁿ – бесконечно большая при ½q½>1.