Приведение матричной игры к задаче линейной оптимизации
В общем случае смешанные стратегии сторон могут содержать значительное число активных стратегий и платежную матрицу существенно упростить не удастся. Однако оптимальные смешанные стратегии игроков 
и 
всегда можно найти приведением матричной игры двух лиц с нулевой суммой к задаче линейного программирования.
Без ограничения общности можно предполагать, что цена игры – это положительная величина. В противном случае достаточно увеличить все элементы платежной матрицы на постоянную величину, что приведет к такому же увеличению цены игры без изменения искомых смешанных стратегий.
Для игры размерностью m×n (табл. 6.12) при использовании нами оптимальной смешанной стратегии 
любая чистая стратегия оппонента 
приведет к нашему выигрышу не менее чем на величину цены игры 
, следовательно, для платежной матрицы, заданной табл. 6.12, имеем:
Таблица 6.12
| 
| … | 
| … | 
| ||
| 
| 
| … | 
| … | 
| 
|
| 
| 
| … | 
| … | 
| 
|
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| 
| 
| … | 
| … | 
| 
|
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| 
| 
| … | 
| … | 
| 
|
| 
| … |
| … | 
|
, 
,
.
Разделив эти соотношения на положительную величину 
, введем обозначения 
, 
и получим:
, ,
.
Так как наша цель максимизировать цену игры, то критерий – это
при записанных выше 
ограничениях. Решив полученную задачу линейной оптимизации, найдем как цену игры , так и нашу оптимальную смешанную стратегию по очевидным формулам:
,
, 
.
Для смешанной стратегии оппонента построение линейной модели выполняется аналогично, но ограничения будут записываться по отношению к каждой нашей стратегии (построчно) и со знаком меньше или равно, а оптимизация выполняется на максимум. Таким образом, для оппонента необходимо решить симметричную двойственную задачу.