Друга теорема теорії подвійності

Теорема.

Для того, щоб деяка пара припустимих розв’язків прямої і двоїстої задач була оптимальною парою, необхідно й достатньо, щоб для цієї пари основна нерівність теорії подвійності перетворювалася б у строгу рівність.

Для того, щоб деяка пара рішень і була оптимальною парою необхідно й достатньо, щоб для цієї пари рішень виконувалися умови доповнюючої нежорсткості Слейтера.

Доказ необхідних умов теореми:

Нехай ; є деяка оптимальна пара рішень прямої і двоїстої задач. Тоді, цілком очевидно, що основна нерівність теорії подвійності (66) буде перетворюватись в строгу рівність. Однак, це можливо тоді й тільки тоді, коли співвідношення (62) і (63) будуть перетворюватись в строгі рівності. Таким чином, для прямої задачі мають:

(67)

.

Аналогічно для двоїстої задачі:

(68)

.

Співвідношення (67,68) називаються умовами доповнюючої нежорсткості Слейтера для прямої й двоїстої задач відповідно.