Теорема

Для того, щоб деякий план ТЗ був оптимальним, необхідно й достатньо, щоб він був потенційним.

Доказ. Нехай є деякий оптимальний план, тоді відповідно до першої теореми теорії подвійності мають . У той же час у відповідності із другою теоремою теорії подвійності системи обмежень і прямої й двоїстої задач будуть задовольняти умовам доповнюючої нежорсткості Слейтера. Укажемо умови Слейтера для двоїстої задачі

.

Цілком очевидно, що для базисного набору кліток , тому що в клітках зазначені невід’ємні значення перевезень. Тоді, щоб виконувалися умови Слейтера необхідно й достатньо, щоб для базисного набору кліток вирази в дужках перетворювалися б в 0, тобто .

В той же час для небазисного набору кліток . Це означає, що вираз в дужках може бути будь-яким (у рамках припустимого плану). Тоді для небазисного набору кліток в оптимальному плані повинне виконуватися співвідношення виду . Теорема доведена.

Алгоритм методу потенціалів складається з 2-х кроків: попереднього й загального, який повторюється.

Попередній крок:

1. Складають первісний опорний план.

2. Складають первісну систему потенціалів.

3. Перевіряють план на потенційність.

Цілком очевидно, що якщо план потенційний, то він оптимальний, тоді на цьому етапі завершують розв’язок задачі.

Якщо план непотенційний, то він не оптимальний, і тоді переходять до загального кроку, який повторюється. У загальному кроці виконують наступні операції.

Загальний крок:

1. Перебудовують опорний план з метою його поліпшення.

2. Перебудовують систему потенціалів.

3. Перевіряють план на потенційність.

Відмітимо, що метод потенціалів сходиться й притім завжди за кінцеве число ітерацій.