ГЕОМЕТРИЧНИЙ (ГРАФІЧНИЙ) МЕТОД РІШЕННЯ ЗЛП

Графічний метод доцільно використовувати в тих випадках, коли цільова функція ЗЛП залежить від двох змінних. Графічно можна вирішувати й багатомірні задачі, однак вони повинні містити до двох вільних змінних. Геометрична інтерпретація розв’язків ЗЛП дозволить зрозуміти надалі суть аналітичних методів рішення.

Постановка задачі. Знайти оптимум лінійної форми

при наступних обмеженнях

Областю припустимих розв’язків задачі (17)-(19) можуть бути замкнуті опуклі багатогранні тіла, розімкнуті опуклі багатогранні тіла або єдина крапка. Система нерівностей (18)-(19) моделює на площині зазначені області.

Функція (17) моделює на площині х₁ох₂ сімейство прямих, які називаються лініями рівня. Кожна з таких ліній відповідає за цілком певні значення функції цілі:

Серед ліній рівня виділяють одну, котра називається лінією нульового рівня, її рівняння має вигляд:

або

Лінію нульового рівня можна інтерпретувати як геометричне місце точок площини, у кожній з яких значення цільової функції дорівнює нулю.

Розглянемо вектор-градієнт цільової функції

або

Цей вектор указує напрямок найшвидшого зростання цільової функції. Відмітимо, що вектор-градієнт у кожній точці координатної площини х₁ох₂ перпендикулярний лінії рівня функції F, що проходить через цю точку.