Канонічні форми постановки ЗЛП

ЗЛП, заданою в канонічній формі, називається задача, у якій необхідно знайти оптимум лінійної форми

(8)

при обмеженнях-рівностях:

(9)

(10)

Якщо цільова функція F досліджується на экстремум типу мінімум, то говорять, що задача задана в першій канонічній формі, якщо на экстремум типу максимум – удругий.

Визначення. Набір чисел , що задовольняє системі обмежень ЗЛП, називається планом ЗЛП.

Визначення. Набір чисел , що задовольняє не тільки системі обмежень ЗЛП, але й умовам невід’ємності, що накладаються на змінні, називається припустимим планомЗЛП.

Визначення. Припустимий план , що доставляє экстремум лінійній формі, називається оптимальним планом ЗЛП.

Представлені три форми постановок ЗЛП є еквівалентними в тому розумінні, що після нескладних перетворень можна перейти від однієї до іншої. Для цієї мети необхідно вміти переходити від opt min до opt max і навпаки, від обмежень-нерівностей до обмежень-рівностей і навпаки.

Наступні два твердження дозволяють здійснювати перехід від однієї форми запису ЗЛП до іншої.

Твердження 1. Мінімум лінійної форми F дорівнює максимуму лінійної форми (-F), узятому із протилежним знаком, тобто

Таке твердження досить просто довести, побудувавши графік функції однієї незалежної змінної (див. мал. 1).

 

 

 

Мал. 1

 

Твердження: Обмеження-нерівність вихідної задачі виду «≤» перетвориться в обмеження-рівність додаванням до його лівої частини додаткової (балансової) невід’ємної змінної, а обмеження-нерівність виду «≥» перетвориться в обмеження-рівність вирахуванням з його лівої частини додаткової (балансової) невід’ємної змінної.

(11)
Теорема. Усякому рішенню нерівності виду

відповідає цілком певне рішення рівності виду

(12)

І навпаки, кожному рішенню рівності (12) відповідає цілком певне рішення нерівності (11).

Доказ. Нехай – деяке рішення нерівності (11), тоді цілком очевидно, що буде виконуватися наступну нерівність

(13)
.

Позначимо різницю між правою й лівою частинами нерівності (13) через an+1:

(14)
.

Співвідношення (14) можна записати у вигляді

(15)

З (15) витікає, що сукупність чисел є рішенням рівняння (12).

Таким чином, пряма частина теореми доведена, а зворотна частина доводиться аналогічно.

Приклад 1. Привести до першої канонічної форми ЗЛП

Задача сформульована в загальній постановці, тому що для симетричної форми характерна наявність тільки обмежень типу «≤».

У першій канонічній формі задача запишеться в такий спосіб

 

 

Приклад 2.Привести до першої канонічної форми ЗЛП

Мал. 2 Мал. 3

З малюнків 2, 3 видно, що для змінної х1 виконується умова невід’ємності.

Замість змінної х2 введемо нові змінні і по формулі

(16)

З урахуванням (16) з вихідної постановки ЗЛП можна виключити змінну х2, і задача прийме вид

Увівши балансові змінні х5 ³ 0 і х6 ³ 0, запишемо задачу в першій канонічній формі.