Лекция 13. Развертки многогранных и кривых поверхностей.
Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, которая получена совмещением всех ее граней с одной плоскостью.
Пример. Построить развертку поверхности пирамиды SABCD (рисунок 13.1).
|
. Вторые катеты этих треугольников равны длинам горизонтальных проекций этих ребер. Для удобства построение натуральных величин боковых ребер вынесено на свободное поле чертежа. Совокупность треугольников 
, 
, 
, 
с общим катетом называется диаграммой натуральных величин.
Построение развертки поверхности пирамиды ясно из приведенного чертежа, на котором конгруэнтные отрезки обозначены одинаковыми значками. К развертке боковой поверхности пирамиды пристраиваем ее основание.
Построение развертки поверхности призмы выполняется тремя способами:
1) способом треугольников (триангуляции),
2) способом нормальных сечений,
3) способом раскатки.
Способ треугольников является наиболее универсальным. Он пригоден для построения точных разверток любых многогранных поверхностей, а также для построения приближенных и условных разверток линейчатых поверхностей.
Способ нормальных сечений применяется для построения разверток призматических поверхностей, если их боковые ребра являются прямыми уровня.
Развертка поверхности призмы способом нормальных сечений выполняется в такой последовательности (рисунок 13.2):
1) призма пересекается плоскостью a, перпендикулярной ее боковым ребрам;
2) определяются натуральные величины сторон ломаной линии, по которой плоскость a пересекает поверхность призмы;
3) эта ломаная развертывается в отрезок прямой;
4) на перпендикулярах, проведенных к этой прямой в точках, соответственных вершинам ломаной, откладываются натуральные величины соответствующих отрезков ребер;
5) концы ребер последовательно соединяются отрезками прямых;
6) к построенной развертке боковой поверхности призмы пристраиваются многоугольники, равные натуральным величинам оснований призмы.
Способ раскатки – частный случай способа нормальных сечений. Он применяется для построения разверток призматических поверхностей, если их боковые ребра и плоскости оснований являются соответственно прямыми и плоскостями уровня.
Сущность способа раскатки состоит в том, что грани призмы последовательными вращениями вокруг ее боковых ребер совмещаются с какой-либо плоскостью. Получающаяся при этом фигура является разверткой боковой поверхности призмы.
Построение приближенных разверток развертывающихся поверхностей (конических, цилиндрических и торсовых) сводится к построению точных разверток многогранных поверхностей, вписанных в данные поверхности или описанных около них. Построение приближенных разверток выполняется в такой последовательности:
1) данную развертывающуюся поверхность заменяют (аппроксимируют) многогранной поверхностью;
2) строят точную развертку многогранной поверхности;
3) точную развертку аппроксимирующей многогранной поверхности принимают за приближенную развертку данной развертывающейся поверхности.
Основная литература: 1 осн.[201-207], 2 осн. [105-110]
Дополнительная литература: 1 доп.[117-123].
Контрольные вопросы:
1. Что называют разверткой поверхностей?
2. Какие поверхности называются развертывающимися и какие - неразвертывающимися?
3. Укажите основные свойства разверток?
4. Укажите последовательность графических построений разверток поверхностей конуса и цилиндра?
5. Что называют аппроксимацией поверхности?
6. Какие способы разверток многогранников вы знаете?