Лекция 1. Введение. Метод проекций. Эпюр Монжа.

Конспект лекционных занятий.

Начертательная геометрия, являясь одним из разделов математики, изучает методы отображения трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений пространственных задач на чертеже.

Геометрические фигуры делятся на линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность), составные (многогранники и др.). Основным элементом пространства принято считать точку, поэтому все геометрические фигуры представляются как множества точек. Основным методом начертательной геометрии является метод проецирования.

Центральное проецирование. Центральное проецирование состоит из центра проецирования S и плоскости проекций П_i . Для построения проекции точки А_i некоторой точки А пространства выполняют следующие операции:

- строят проецирующую прямую SA;

- определяют точку А_i пересечения SA с плоскостью П_i.

Свойства центрального проецирования:

1. проекцией точки является точка: А®А_i;

2. прямая проецируется в прямую: m®m_i (проецирующая прямая проецируется в точку);

3. сохраняется принадлежность: СÎ m ® C_iÎ m_i.

Параллельное проецирование. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проецирования S становится несобственным. Поэтому обычно вместо несобственного центра проецирования S ^¥ говорят о направлении проецирования s. Первые три свойства центрального проецирования будут справедливыми и в случае параллельного проецирования. Свойства параллельного проецирования:

4. сохраняется параллельность: аêêb ® a_i êêb_i.

5. отношения длин проекций отрезков параллельных прямых к длинам самих отрезков постоянны;

6. Отрезки прямых, плоские фигуры, параллельные плоскости проекций, проецируются без искажения (в натуральную величину).

Прямоугольное проецирование.Если направление s параллельного проецирования перпендикулярно плоскости П_i , то проецирование называется прямоугольным (ортогональным). Все свойства параллельного проецирования справедливы в случае прямоугольного проецирования.

7.

где a - угол между отрезками АС, ВС и плоскостью проекций П_i (рисунок 1.2).

Правило прямоугольного треугольника. Натуральная величина отрезка АВ равна гипотенузе прямоугольного треуголь­ника, один катет которого равен проек­ции отрезка на П_i , а второй катет – раз­ности расстояний концов отрезка до этой плоскости проекций.

Теорема. Прямоугольной проекцией прямого угла является также прямой угол, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей (рисунок 1.3).

Требования, предъявляемые к чертежу.К чертежу предъявляются следующие требования: обратимость, точность, простота, наглядность. Чертеж называется обратимым, если по изображению фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение в пространстве. В инженерной практике широко используются обратимые чертежи: - эпюр Монжа, аксонометрия, линейная перспектива, проекции с числовыми отметками.

Чертеж Монжа – основной вид обратимого изображения. Французский математик и инженер Гаспар Монж (1746-1818гг.), систематизировав и обобщив накопленные к тому времени знания по теории и практике построения изображений предметов пространства, предложил получать их изображения путем прямоугольного проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. В зависимости от этого также чертежи называют двухкартинными (рисунок 1.4) или трехкартинными (рисунок 1.5). На рисунке 1.4а видно, что плоскости П₁(фронтальная), П₂ (горизонтальная) делят пространство на четыре части, называемые четвертями. Полученный чертеж на рисунке 1.4б является обратимым, так как по нему можно определить координаты точки А в пространстве. Следовательно, на двухкартинном чертеже можно решать любые позиционные и метрические задачи.

Трехкартинный чертеж Монжа получается из двух картинного путем добавления третьей плоскости проекций П₃, перпендикулярной оси Оx (рисунок 1.5). Эта плоскость называется профильной плоскостью проекций.

Плоскости П₁, П₂, П₃ делят пространство на восемь частей, называемых октантами. Построение третьей проекции по двум заданным показано на рисунке 1.5б. В ряде случаев на чертеже Монжа не указываются проекции осей координат. Такие чертежи принято назвать безосными.

Основная литература: 1 осн.[8-20 ], 2 осн. [4-30 ]

Дополнительная литература: 1 доп.[7-14].

Контрольные вопросы:

1.Что составляет предмет начертательной геометрии?

1. Перечислите свойства центрального проецирования.

2. Перечислите свойства параллельного проецирования.

3. Перечислите основные требования, предъявляемые к чертежу.

4. Что называют ортогональной проекцией точки?

5. Как образуются проекции точки на плоскостях П₁, П₂, П₃?

6. Что называют координатами точки пространства в декартовой системе координат и какие координаты на эпюре определяют ее горизонтальную, фронтальную проекции?