Теорема Жуковского о подъемной силе одиночного профиля.

Для определения сил взаимодействия лопастей с обтекающим решетку потоком полезно рассмотреть простой случай обтекания одиночного профиля плоскопараллельным потоком идеальной жидкости. На рис. 14.1 представлена схема обтекания пластины длиной L потоком жидкости со скоростью W0 и плотностью ρ. Равнодействующая распределенных по пластине единичной ширины сил давления - F, отклоняющих поток от направления W0 к W1 , представлена как сумма проекций на оси х и у. Массовый расход М частиц, подвергающихся возмущению, определяется углом атаки γ:

М = ρ W0 1 L Sinγ.(14.1)

 

Применение теоремы об изменении количества движения системы материальных точек (теоремы импульсов) дает возможность рассчитать величины FХ и FУ:

 

- проекция на ось х: МW1Cosγ- М W0 = - FХ,

 

- проекция на ось у: МW1 Sinγ -0 = FУ.

 

Полагая в первом приближении равенство скоростей W1 и W0 имеем:

 

FХ = ρ W20 1 L (1- Cosγ) Sinγ,(14.2)

 

FУ = ρ W20 1 L Sin2γ.(14.3)

 

Существенные качественные и количественные отклонения результатов расчета по 14.2 и 14.3 от измеряемых значений FХ и FУ снимаются введением в эти формулы опытных аэродинамических коэффициентов СХ (W0 , γ) и СУ (W0 , γ). Таким образом, вышеизложенная методика дает только набор параметров, описывающих процесс, и в некоторой степени структуру расчетных зависимостей. Основные причины несоответствия очевидны и вытекают из неверного представления о текучей среде как совокупности невзаимодействующих между собой частиц. Действительно, в создании подъемной силы FУ и силы лобового сопротивления FХ участвуют не только верхняя, но и нижняя поверхность, а равенство скоростей W1 и W0 неочевидно, расчет М по формуле 14.1 вызывает сомнения и т.д. Кроме этого методика расчета не объясняет наличия FУ в случае горизонтального, выпуклого сверху профиля типа крыла птиц, когда Sinγ=0.

Следуя Жуковскому, рассмотрим задачу обтекания профиля в более корректной постановке, изображенной на рис. 14.2. Возмущающая поток сила F распространяет свое влияние на массу жидкости, заключенную внутри контрольной поверхности радиуса r, ограниченной единичной длиной в направлении оси z, совпадающей с осью профиля. На выделенный объем жидкости кроме силы F оказывают силовое воздействие распределенные по цилиндрической поверхности силы давления окружающей среды.

 

 

М

 

       
 
   
 

 


 

При произвольном значении угла α выделим элементарную площадку dl=r dα, на которую действует зависящее от α давление Р(α), а скорость возмущенного потока в центре площадки обозначим вектором W(α).

 

 

           
   
V(α)
 
   
U(α)
 
 

 


 

 

       
 
 
   
Рис. 14.2.  

 

 


Проекции на оси x и у всех сил, действующих на выделенную массу, записываются при интегрировании распределенных сил давления:

 

-FХ - ,(14.4)

Fy - , (14.5)

Проекции изменений количества движения на оси х и у вычисляются интегрированием по углу α от 0 до 2π произведения скоростей U(α) или V(α) на элементарный расход dM(α) через выделенное живое сечение 1dl на контрольной поверхности:

,(14.6)

.(14.7)

Для вычисления подъемной силы FУ используем теорему импульсов приравняем 14.5 к 14.7 и учтем, что при любых α V2 = W2 –U2 :

 

1(V2 Sinα + UV Cosα)dα=

= 1(W2Sinα – U2 Sinα +UVCosα)dα= 1W2Sinα dα + 1(UVCosα–U2 Sinα )dα=

= 1W2Sinα dα + 1U(VCosα–U Sinα)dα= 1W2Sinα dα + 1UWτ dα. (14.8)

 

В соотношении 14.8 Wτ(α)=(Vcosα – USinα) –проекция скорости потока на касательную к цилиндрической контрольной поверхности.

Выполним анализ 14.8, учитывая произвольность величины r, который можно принять достаточно большим. При таком допущении возмущениями потока на контрольной поверхности можно пренебречь, т.е. в интегралах левой и правой частях положить Р(α)= Р0= Const и U(α)→W(α)→W0≈ Const. Это приводит к нулевым значениям интеграла правой части 14.8 и первого слагаемого левой. В результате расчет FУ сводится к вычислению интеграла:

FУ = 1UWτ dα. =1W0 Wτ(α)τ dα =1ρW0 (α)dl =1ρW0 Г. (14.9)

Из формулы Жуковского следует, что если при обтекании профиля возникает циркуляция вектора скорости по замкнутому контуру – Г (гамма), то в создании подъемной силы участвуют большие массы жидкости в окрестностях профиля. Сила действия потока на профиль равна FУ и противоположна ей по направлению.

Для формирования Г при обтекании цилиндра радиусом R достаточно цилиндр вращать c угловой скоростью ω. Возникающая в этом случае подъемная сила, приложенная к цилиндру, (эффект Магнуса) соответствует величине Г=2π R ω (рис. 14.3, а). Обтекание несимметричного крылового профиля формирует подъемную силу FУ даже при нулевых углах атаки за счет более высоких скоростей течения на выпуклой стороной профиля по сравнению с плоской нижней. В этом случае можно иметь высокое значение FУ при минимальном лобовом сопротивлениии FХ.

 

 

 

 


 

Применительно к течению в решетке профилей осевого насоса (см. рис. 14.4) для каждой лопасти циркуляция вектора скорости Г, т.е. интеграл по контуру 1-2-3-4 легко вычисляется по известному шагу t и величинам W2u, W1u. При обходе лопасти, как указано на рисунке стрелками, величина Г складывается из двух слагаемых, соответствующих участкам 1-2 и 3-4:

 

Г= t W2u - t W1u= t (W2u - W1u) (14,10)

 

Расчет циркуляции для лопасти направляющего аппарата дает величину циркуляции:

 

 

ГНА= tНА С4У+ tНА С3У = tНА С3У. (14,11)

 

 
 

 

 


Теорема Жуковского служит теоретической базой для инженерных методик расчета осевых насосов. При этом широко использоваются экспериментальные данные полученные на испытаниях насосных агрегатов и продувке решеток.