Методы поиска и выбора решений. Минимаксный критерий. Критерий Байеса – Лапласа. Критерий Сэвиджа.
Лабораторная работа №4.
Базова
1. Олимпийский спорт: в 2 т. / В. Н. Платонов, М. М. Булатова, С. Н. Бубка [и др.]; под общ. ред. В. Н. Платонова. – К. : Олимп. л-ра, 2009. – Т. 1. – 736 с. – ISBN 978-966-8708-15-2.
2. Олимпийский спорт: в 2 т. / В. Н. Платонов, М. М. Булатова, С. Н. Бубка [и др.]; под общ. ред. В. Н. Платонова. – К. : Олимп. л-ра, 2009. – Т. 2. – 696 с. – ISBN 978-966-8708-17-6.
3. Платонов В. Н. Олимпийский спорт: учебник (в 2 кн.) / Платонов В. Н., Гуськов С. И. – К. : Олимпийская литература, 1994. – 496 с. – ISBN 5-7707-5870-8.
4. Енциклопедія Олімпійського спорту України [Текст] / за ред. В. М. Платонова. – К. : Олімпійська література, 2005. – 464с. – ISBN 966-7133-71-0.
5. Энциклопедия Олимпийского спорта : в 5 т. / под общ. ред. В. Н. Платонова. – К. : Олимпийская литература, 2004.
Допоміжна
1. Воробйов П. Г. На славу спорту в ім’я честі / Воробйов П. Г., Фірсель Н. Й. – К. : Веселка, 1976. – 264 с.
2. Заседа І. І. Олімпійці / Заседа І. І. – К. : Молодь, 1975. – 224 с.
3. Суник О. Б. Від Олімпії до Москви / Суник О. Б. – К. : Здоров’я, 1980. – 200 с.
4. Трофим’як Б. Є. Фізична культура і спорт в Українській РСР / Трофим’як Б. Є. – Львів Вища школа, 1987. – 160 с.
5. Фірсель Н. Й. Олімпійська зима: нариси / Фірсель Н. Й. – К. : Веселка, 1978. – 152 с.
6. Хавин Б. Н. Все об олимпийских играх / Хавин Б. Н. – М. : ФиС, 1979. – 607 с.
7. Шанин Ю. В. Герои античных стадионов / Шанин Ю. В. – М. : ФиС, 1979. – 141 с.
8. Шанин Ю. В. Олимпийские игры и поэзия эллинов / Шанин Ю. В. – К. : Вища школа, 1980. – 184 с.
9. Булатова М. М. Енциклопедія олімпійського спорту в запитаннях і відповідях / М. М. Булатова. – К. : Олімпійська література, 2009. – 400с. – ISBN 978-966-8708-14-5.
15. Інформаційні ресурси
1. Мультимедійне забезпечення лекцій, демонстрація відеороликів з Ігор Олімпіад та Зимових олімпійських ігор
2. http://www.noc-ukr.org/
3. http://www.olympic.org/
4. www.paralympic.org.ua
5. www.paralymp.ru
6. http://www.olimparena.org/
7. www.vespo.com.ua
8. www.sochi2014.com
9. www.olympiady.ru
10. www.olympic.ru
Принятие решения представляет собой выбор одного варианта 
из некоторого множества рассматриваемых вариантов: 
Будем рассматривать наиболее часто встречаемый случай, когда имеется лишь конечное число вариантов 
Условимся, что каждым вариантом однозначно определяется некоторый результат 
. Эти результаты должны допускать количественную оценку, которую также будем обозначать символом . Будем искать вариант с максимальным результатом, т.е. целью нашего выбора является 
. Результаты чаще характеризуются, как выигрыши, полезности или надежности. Таким образом, выбор оптимального варианта решения производится с помощью критерия
. (1)
Правило (1) интерпретируется следующим образом: множество 
оптимальных вариантов состоит из тех вариантов 
, которые принадлежат множеству 
всех вариантов и оценка 
максимальна среди всех оценок .
Рассмотренный случай принятия решений, при котором каждому варианту решения соответствует единственное внешнее состояние (единственный результат), является случаем детерминированных решений. Этот случай является простейшим и частным. В более сложных структурах каждому варианту решения вследствие различных внешних условий 
могут соответствовать различные результаты 
решений.
Под результатом решения будем понимать оценку, соответствующую варианту и условиям и характеризующую экономический эффект (прибыль), полезность или надежность изделия. Семейство решений описывается некоторой матрицей:
. (2)
Лицо, принимающее решение (ЛПР), старается выбрать решение с наилучшими результатами. В данном случае, первоначальная задача максимизации согласно критерию (1) должна быть заменена другой, которая будет учитывать все последствия любого из вариантов решения .
Чтобы прийти к однозначному и наивыгоднейшему варианту решения, когда каким-либо вариантам решений могут соответствовать различные условия, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции. При этом матрица (2) сводится к одному столбцу. 
.
Каждому варианту приписывается, таким образом, некоторый результат, характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать символом 
.
Процедура выбора оптимального решения сводится к проблеме вложения смысла в результат . С точки зрения ЛПР чаще желаемый результат формируется между оптимистическими и пессимистическими способами построения оценочных функций.
Рассмотрим оценочные функции, которые может выбрать ЛПР.
1) Оптимистическая позиция ЛПР:
. (3)
Точка зрения азартного игрока. ЛПР делает ставку на то, что выпадет наивыгоднейший случай.
2) Позиция нейтралитета:
. (4)
ЛПР исходит из того, что все встречающиеся отклонения результата решения от «среднего» случая допустимы, и выбирает размеры, оптимальные с этой точки зрения.
3) Пессимистическая позиция ЛПР:
. (5)
ЛПР исходит из того, что надо ориентироваться на наименее благоприятный случай и приписывает каждому из альтернативных вариантов наихудший из возможных результатов. После этого он выбирает самый выгодный вариант, т.е. ожидает наилучшего результата в наихудшем случае.
4) Позиция относительного пессимизма ЛПР:
. (6)
Для каждого варианта решения ЛПР оценивает потери в результате по сравнению с определенным по каждому варианту наилучшим результатом, а затем из совокупности наихудших результатов ЛПР выбирает наилучший согласно представленной оценочной функции.
Ряд таких оценочных функций можно было продолжить. Некоторые из них получили широкое распространение в хозяйственной деятельности. Так, если условия эксплуатации заранее не известны, ориентируются обычно на наименее благоприятную ситуацию. Это соответствует оценочной функции (5). Часто используются также функции (4) и (6). Оценочная функция (3) до сего времени в технических приложениях не применялась.
Классические критерии принятия решений.
Минимаксный критерий (ММ) использует оценочную функцию (5), соответствующую позиции крайней осторожности, т.е.
, (7)
где 
- оценочная функция ММ-критерия и справедливо следующее соотношение 
.
Выбранные варианты полностью исключают риск. Это означает, что ЛПР не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже 
. Это свойство заставляет считать минимаксный критерий одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и не осознанно. Однако, положение об отсутствии риска стоит различных потерь.
Пусть матрица решений представлена в виде
, 
.
Хотя вариант 
кажется более выгодным, согласно ММ-критерию (7) оптимальным следует считать 
. Принятие решения по данному критерию может оказаться еще менее разумным, если состояние 
встречается чаще, чем состояние 
и решение реализуется многократно.
Выбирая вариант 
, предписываемый ММ-критерием, мы избегаем неудачного результата 1, реализующегося в варианте при внешнем состоянии 
, зато теряем выигрыш 100, получая всего только 1,1. Этот пример показывает, что в многочисленных практических ситуациях пессимизм ММ-критерия может оказаться очень невыгодным.
Поэтому применение ММ-критерия оправдывается, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
· о возможности появления внешних состояний ничего не известно;
· решение реализуется лишь один раз;
· необходимо исключить какой бы то ни было риск, т.е. ни при каких условиях не допускается получить результат, меньший чем 
.
Критерий Байеса- Лапласа (BL-критерий).
Пусть 
- вероятность появления внешнего состояния , тогда для BL-критерия оценочная функция имеет вид
, (8)
.
Правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений 
дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты , в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца .
Условия, при которых используется данный критерий:
· вероятности появления состояний известны и не зависят от времени;
· решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
· для конечного числа реализаций решения допускается некоторый риск.
Критерий Сэвиджа (S-критерий).
Сформируем оценочную функцию. Пусть
(9)
и 
, (10)
тогда оценочная функция имеет вид
. (11)
Тогда множество оптимальных вариантов решения есть
.
Величину 
можно интерпретировать двояко:
· как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии вместо варианта выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант;
· как потери (штрафы), возникающие в состоянии при замене оптимального для него варианта на вариант .
Тогда величина представляет собой - при интерпретации 
в качестве потерь - максимально возможные (по всем внешним состояниям 
) потери в случае выбора варианта . Далее максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта .
Правило выбора оптимального варианта по критерию Сэвиджа:
· каждый элемент матрицы решений 
вычитается из наибольшего результата 
соответствующего столбца. Разности 
образуют матрицу остатков 
. Эта матрица дополняется столбцом наибольших разностей ;
· выбираются те варианты , в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.
Условия применения S-критерия такие же, как для ММ-критерия.