П Л А Н
Методичні матеріали
11. Дуденко Н.В., Павлоцька Л.Ф., Вялкіна С.П. – Практикум для проведення тестового контролю знань з дисципліни «Біохімія». – Х.: 2004. – 107 с.
1. Визначники 2-го та 3-го порядків.
2. Властивості визначників. Розклад визначників за елементами рядка (стовпця.
3. Визначники n-го порядку та їх обчислення.
1. Матриця розміром m x n –це сукупність чисел, розміщених у вигляді прямокутної таблиці, яка має m рядків та n стовпців.
Матриці позначають великими літерами латинського алфавіту та круглими дужками. Така матриця має вигляд:
А=
або А= , A=
Кожен елемент матриці А має два індекси : перший вказує номер рядка, другий –номер стовпця
Якщо m=n, то матриця буде квадратною.
n –порядок матриці.
Визначник – це число, яке знаходиться з елементів квадратної матриці за певним правилом.
Якщо квадратна матриця позначена літерою , то її визначник позначається
або
. Друга назва – детермінант.
Визначники 2-го порядку:
![]() | ![]() |
![]() |
допоміжна головна
діагональ діагональ
(-) (+)
(дорівнює різниці добутків елементів головної та допоміжної діагоналей)
Приклад: =
Визначники 3-го порядку:
а) Обчислення за правилом трикутників:
головна допоміжна
діагональ діагональ
(-) (+)
б) Обчислення за правилом Саріуса:
гол. діаг. допом. діаг.
Приклад:
2. Властивості визначників.
1) Визначник при транспонуванні не змінюється (при заміні рядків на стовпці).
- транспонована матриця
2) Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які рядки (або стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.
3) Якщо визначник має два однакових рядки (або стовпці), то він дорівнює нулю.
4) Якщо у визначнику усі елементи одного рядка (або стовпця) помножити на дійсне число k, то визначник зміниться також в k разів
Наслідок 1. Спільний множник усіх елементів будь-якого рядка (або стовпця)
визначника можна винести за знак визначника
Наслідок 2. Якщо усі елементи будь-якого рядка (або стовпця) визначника
дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
5) Визначник, у якого відповідні елементи двох будь-яких рядків (або стовпців) пропорційні, дорівнює нулю.
Доведення випливає з властивостей 3, 4
6) Якщо у визначнику елементи будь-якого рядка (або стовпця) є сумою двох доданків, то він дорівнює сумі двох відповідних визначників,
7) Якщо до всіх елементів будь-якого рядка (або стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця) цього визначника, помножені на одне й те ж саме число, то визначник не зміниться
-16 = -16
Для обчислення визначників порядка n > 3 використовують алгебраїчне доповнення.
Мінором елемента
з визначника n-го порядку, називається визначник n-1 порядку, який одержуємо з визначника
шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент
Алгебраїчним доповненням визначника називається мінор цього елемента, взятий зі знаком
, тобто
Приклад: Знайти алгебраїчні доповнення до елементів та
визначника
Теорема Лапласа (розкладання визначника за елементами будь-якого рядка або стовпця).
Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого рядка (або стовпця) на відповідні їм алгебраїчні доповнення.
3. Для того, щоб обчислити визначник n-го порядку потрібно до нього застосовувати властивість 7 та теорему Лапласа.
Для скорочення обчислень визначника доцільно його розкласти за елементами такого рядка чи стовпця, який містить найбільшу кількість нулів.
У такому випадку не треба знаходити алгебраїчні доповнення до елементів, що дорівнюють 0 (добуток 0 на будь-яке алгебраїчне доповнення дорівнює 0). Треба навчитись виконувати еквівалентні перетворення визначника, які дають можливість одержати нулі у деякому рядку або стовпці.
Приклад: Обчислити визначник 4 порядку