Методическая разработка

для студентов фармацевтического факультета

к практическому занятию по теме:

«Метод наименьших квадратов. Сглаживание экспериментальных зависимостей»

1. Научно-методическое обоснование темы:

Задача сглаживания экспериментальных зависимостей достаточно типична для практики. При ее решении рассчитывают освободить экспериментальные данные от случайных ошибок, допущенных в каждом отдельном опыте, и свести большое количество этих данных к нескольким параметрам (в част­

ности, к коэффициентам многочлена), одновременно получив возможность обрабатывать полученную функциональную зависимость аналитически (например, дифференцировать).

2. Краткая теория:

Предположим, что результаты некоторого эксперимента систематизированы в виде таблицы,

Таблица 1

в которой y_i = y(x_i ) является функцией, а х — аргументом, и требуется сгладить эту заданную таблично зависимость многочленом или некоторой другой функцией, известной нам с точностью до нескольких подлежащих определению параметров.

Практически любая табличная зависимость может быть сглажена различными функциями с приблизительно одинаковой точностью. Сглаживающую функцию следует выбирать исходя из физических соображений, а при отсутствии таковых использовать наиболее простые варианты формул, с минимальным числом подлежащих определению коэффициентов. Определенную помощь в выборе сглаживающей функции может также оказать графическое представление табл. 1. (рис.1).

Пусть, для определенности, сглаживающая функция является многочленом

, (1)

Рис.1 Графическое представление табл.1

известной степени с числовыми коэффициентами которые подлежат определению.

Составим разности

(2)

характеризующие близость табличных данных и значений, полученных при помощи сглаживающей функции. Подберем коэффициенты таким образом, чтобы величины в совокупности были минимальными.

Эффективной процедурой для решения подобного рода задач является так называемый метод наименьших квадратов, который гласит, что наилучшими во многих отношениях оценками для являются оценки, минимизирующие сумму квадратов разностей . Другими словами, в качестве оценки для неизвестных параметров α_i следует взять такие значения a_i, при которых функция

достигает минимума. Так как представляет дифференцируемую функцию r переменных, необходимым условием ее минимизации является равенство нулю частных производных , вычисленных при

Решение системы из r + 1 нормального уравнения

, (3)

дает искомые коэффициенты Рассмотрим более детально линейную аппроксимацию экспериментальных зависимостей между величинами, т. е. сглаживание с помощью функции В этом случае

и система нормальных уравнений принимает вид

(4)

Пусть

, (5)

Тогда систему (4) можно переписать в виде

, (6)

Решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными (6), получим

, (7)

Таким образом, наилучшая в смысле метода наименьших квадратов линейная сглаживающая функция выражается уравнением

Замечание 1. Сумма оптимальных разностей равняется нулю. Это можно использовать для контроля правильности вычислений.

Пример 1. Сгладить линейной зависимостью от х данные, представленные в таблице

Таблица 2

Вычислить разности и отобразить на графике табличные данные и сглаживающую прямую.

Решение. Используя формулы (5) найдем

и, следовательно,

.

Таким образом, уравнение сглаживающей прямой имеет вид у = 2 + 0,36x (рис. 2).

Рис.2. График сглаживающей прямой

Теперь дополним табл. 2:

Таблица 3

Как видно из табл.3. сумма разностей равна нулю.

Замечание 2. Метод наименьших квадратов можно с некоторой потерей точности использовать для сглаживания функциональных зависимостей, приводящихся к линейной с помощью замены переменных. Так, зависимость может быть переписана в виде Применяя метод наименьших квадратов для нахождения коэффициентов линейного уравнения и возвращаясь к первоначальной зависимости, получим в качестве оценки коэффициента величину (оценка для в данном случае остается без изменений).

Пример 2. Данные измерений некоторой физической величины представлены таблицей:

Таблица 4

Сгладить эти данные при помощи формулы и вычислить разности между табличными и сглаженными значениями с точностью до тысячных.

Решение. Воспользуемся замечанием 2:

1) Заменим числа z из табл. 4 числами у = lnz:

Таблица 5

2) По формулам (5) и (7) найдем коэффициенты а_о = 0,6876 и а_х = 0,1006 линейного уравнения a_o+a₁x , наилучшим образом приближающего у.

3) Учитывая, что коэффициенты α_о и α₁ связаны с а_о и а₁ соотношениями окончательно получим α_о = 1,988, α₁ = 0,1006, и, следовательно, .

Разности между табличными и сглаженными значениями z сведем в таблицу:

Таблица 6

Как видно из табл.6, сумма разностей здесь отлична от нуля.

3. Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1. Цели сглаживания экспериментальных зависимостей.

2. Метод наименьших квадратов.

Студент должен уметь:

Применять метод наименьших квадратов для сглаживания экспериментальных зависимостей.

4. Содержание обучения:

Теоретическая часть:

1. Задача сглаживания экспериментальных зависимостей.

2. Выбор сглаживающей функции.

3. Метод наименьших квадратов.

4. Линейная аппроксимация экспериментальных зависимостей.

Практическая часть:

Используя метод наименьших квадратов, сгладить с помощью функций заданного вида следующие табличные зависимости:

5.Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:

1. С какой целью проводится сглаживание экспериментальных зависимостей между величинами?

2. Из каких соображений следует выбирать сглаживающую функцию?

3. В чем заключается метод наименьших квадратов?

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1. Как проводится сглаживание с помощью линейной функции?

2. Приведите формулы для коэффициентов уравнения при линейной аппроксимации экспериментальных зависимостей.

3. Как используют метод наименьших квадратов для сглаживания функциональных зависимостей , приводящихся заменой переменных к линейному виду?

7. Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 20 мин.

3.Решение ситуационных задач - 40 мин.

4. Текущий контроль знаний -30 мин.

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

8. Перечень учебной литературы к занятию:

Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, § 8.3.