ТЕОРЕМА 2

ТЕОРЕМА 1

Если существует ,

Предел постоянной величины равен самой постоянной

Пример

Найти

РЕШЕНИЕ:

Иногда возникают ситуации, когда при подстановке вместо числа получаем . В этом случае предел равен бесконечности.

Пример

Найти

РЕШЕНИЕ:

Иногда возникают ситуации, когда при подстановке вместо числа получаем

.

Такая ситуация называется ситуацией неопределенности.

Рассмотрим случай, когда при вычислении предела вида

возникла ситуация неопределенности

В этом случае необходимо найти корни уравнений

и

И представить и числитель, и знаменатель в виде произведения выражений вида

,

где корни уравнений.

После преобразования и числителя, и знаменателя в произведение сомножителей, необходимо произвести сокращения. И в дальнейшем воспользоваться теоремой 1.

Пример

Найти

РЕШЕНИЕ:

Найдем корни квадратного уравнения

Найдем дискриминант

Корни квадратного уравнения

Поэтому квадратичное выражение можно представить так

Аналогично, находим корни квадратного уравнения

Найдем дискриминант

Корни квадратного уравнения

Поэтому квадратичное выражение можно представить так

Поэтому предел

.

Мы сократили на выражение .

Пользуясь теоремой 1, находим предел

Если при вычислении предела следующего типа

или

Снова возникает ситуация неопределенности, то нужно и числитель и знаменатель дроби домножить на сопряженное выражение

или

.

А затем воспользоваться формулой

После преобразования и числителя, и знаменателя в произведение сомножителей, необходимо произвести сокращения. И в дальнейшем воспользоваться теоремой 1.

Пример

Найти

РЕШЕНИЕ:

Проверим что у нас ситуация неопределенности

И числитель, и знаменатель дроби домножаем на сопряженное выражение

Получаем

Сокращаем на и получаем

.

Полученный предел легко находится