Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
ЛЕКЦИЯ №
Уравнение Лапласа является модельным для эллиптических уравнений в частных производных. Некоторые важные задачи, часто встречающиеся в приложениях, сводятся к решению одного эллиптического уравнения. К ним относятся задачи расчета дозвукового безвихревого (потенциального) течения газа и определения стационарного поля температуры в твердом теле, задачи гидродинамики и теплообмена.
Задача Дирихле (граничные условия первого рода) для уравнения Лапласа в прямоугольной области: найти непрерывную функцию U(x, y), удовлетворяющую внутри прямоугольной области
D{(x,y), 
}, уравнению Лапласа:
и принимающую на границе области заданные значения:
U(0,y)=f1(y), U(a, y)=f2(y), yÎ[0,b]
U(x,0)=f3(x), U(x, b)=f4(x), xÎ[0,a],
где fi - заданные функции.
Будем считать, что U(x, y) непрерывной на границе области, т.е.
f1(0)=f3(0), f1(b)=f4(0),
f2(0)=f3(a), f2(b)=f4(a).
Выбрав шаги h и k - по x и по y соответственно, строим сетку
xi=ih, i= 0, 1, ..., n; yi=jk, j= 0, 1, ..., m; xn=nh=a; ym=mk=b.
Обозначим Ui,j = U(xi , yj), аппроксимируем частные производные
и 
в каждом внутреннем узле сетки центральными производными второго порядка
Заменим уравнение Лапласа его конечно - разностным аналогом