ЛЕКЦИЯ №9

Метод Ньютона для системы двух уравнений.

 

Пусть xn, yn - приближенные корни системы уравнений

F(x, y) = 0; (1)

G(x, y) = 0

Полагая x = xn + hn; y = yn + kn;

Получим:

F(xn + hn; yn + kn) = 0; (2)

G(xn + hn; yn + kn) = 0

Отсюда, применяя формулу Тейлора и ограничиваясь линейными членами относительно hn и kn, будем иметь:

(3)

Если якобиан

То из системы (3) находим:

 

или

 

(4)

Следовательно, можно положить:

 

Исходные значения x0 , y0 определяются приближенно. Метод Ньютона будет сходиться квадратично, с другой стороны, каждая итерация требует решения системы линейных уравнений, а также метод Ньютона требует вычисления всех n2 (n=2) первых частных производных нелинейных функций.

Алгебраическая проблема собственных значений.

 

Вектор - собственный вектор матрицы A:

(1)

l - собственное значение матрицы A, или СЛАУ

Необходимо и достаточно:

(2)