Метод хорд (метод линейной интерполяции).
Метод деления отрезка пополам (метод бисекций или дихотомия).
ЛЕКЦИЯ № 6
Методы решения нелинейных уравнений
и систем нелинейных уравнений.
Дано уравнение (скалярное)
f(x)=0, (1)
где f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале a<x<b.
Всякое значение x,обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что
f(x)=0 .
называется корнем уравнения (1) или корнем (нулем) функции f(x)
f(x) – нелинейная функция, может иметь множество корней в рассматриваемом интервале.
Мы будем считать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения (1) существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения (1) обычно складывается из двух этапов:
1. Локализация или отделениекорней, т. е. установление возможно тесных промежутков, в которых содержится один и только один корень уравнения (1);
2. Уточнение приближенных корней,т.е. доведение их до заданной степени точности.
Для отделения корней используется графический способ, а также полезна известная теорема из математического анализа:
Теорема 1. Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка,, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0, т. е. найдется хотя бы одно число xÎ(a, b) такое, что f(x)=0.
Эта теорема не дает ответ о количестве корней.
Корень x заведомо будет единственным, если производная f’(x) существует и сохраняет постоянный знак (т. е. строго монотонна) внутри интервала (a, b), т. е. f’(x)>0 (или f’(x) <0) при a<x<.b
Простейшим и надежным алгоритмом уточнения корня на отрезке
[a, b], если f(x) - непрерывная функция и f(a)f(b)<0, является метод деления отрезка пополам.
Очевидно, что середина отрезка служит приближением к корню уравнения (1) с точностью e<(b-a)/2. В середине отрезка x1=(a+b)/2 определяется знак функции f(x), затем выбирается та половина отрезка
[a, (a+b)/2] или [(a+b)/2,b], на концах которой функция f(x) принимает значения разных знаков, и деление повторяется.
Если требуется найти корень с точностью e, то деление отрезка продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньшей 2e.
Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. В этом методе можно не вычислять значения функции f(x), достаточно лишь определить знак функции.
В этом методе нелинейная функцияf(x) на отделенном интервале
[a, b] заменяется линейной, в качестве которой берется хорда – прямая , стягивающая концы нелинейной функции. Эта хорда определяется как прямая, проходящая через точки с координатами (a, f(a)) и (b, f(b)), т.е. делит отрезок [a, b] пропорционально величинам ординат ,f(a) и ,f(b),.
Имея уравнение хорды y=cx+d, можно легко найти точку ее пересечения с горизонтальной осью, подставив в уравнение хорды y=0 и найдя из него х.
Естественно, в полученной таким путем точке х1 не будет решения, ее принимают за новую границу отрезка, где содержится корень. Через эту точку с координатами (х1, f(х1)) и соответствующую границу предыдущего интервала опять проводят хорду, находят х2, и т. д. несколько раз, получая последовательность х3, х4, х5, , сходящуюся к корню.