Основные понятия

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Число x называется аргументом функции, множество D — областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.

В окружающем нас мире очень много таких зависимостей. У них есть общее свойство — при некоторых небольших частных изменениях меняется и общая ситуация. В математике подобное свойство называют непрерывностью. Если же ситуация такова, что небольшое изменение параметров кардинально меняет всю ситуацию, то ситуацию можно назвать кризисной.

Поэтому важно научиться изучать функции.

Перечислим свойства функций, известные из школы — область определения; область изменения; чётность, нечётность или общего вида; периодичность; характерные точки; экстремальные точки; участки монотонности; асимптоты.

Удобен графический способ представления функций. Графиком функции f(x) называется множество точек координатной плоскости с координатами (x, f(x)). Приведём некоторые из них — известные вам и совсем не известные:

Чтобы изучать поведение функций введём понятие e – окрестности точки x₀.

Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном х₁” будет говориться “значение функции в точке х₁”. В нижеследующем определении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “число х”.

Пусть e — некоторое положительное число. e – окрестностью точки x₀ называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x₀ ‑ e, x₀ + e), кроме самой точки x₀.

Принадлежность точки x e ‑ окрестности точки можно выразить с помощью двойного неравенства 0 < êx – x₀ç < e. Число e называется радиусом окрестности.