Тема 10. Економетричне моделювання на основі виробничої функції Кобба-Дугласа
1.Виробнича функція – це економетрична модель, яка кількісно описує зв’язок основних результативних показників виробничо-господарської діяльності з факторами, що визначають ці показники. До основних показників належать дохід, прибуток, рентабельність, продуктивність праці, собівартість тощо.
Перше поняття виробничої функції пов’язане з математичним моделюванням технологічної залежності між обсягом продукції, що випускається, і кількісними характеристиками витрат ресурсів. Звідси і назва функції «виробнича». Уперше така функція була побудована американськими дослідниками Коббом і Дугласом ще в 30-ті роки ХХ ст. за даними про функціонування обробної промисловості США протягом двадцяти років і є класичним прикладом економетричного моделювання.
Функція Кобба–Дугласа (CDPF) належить до найвідоміших виробничих функцій, що набули широкого застосування в економічних дослідженнях, особливо на макрорівні. Класична виробнича функція Кобба–Дугласа має вигляд :
Y = aF a L1– a,(1)
де Y – обсяг продукції; F – основний капітал; L – робоча сила.
Сума параметрів або степінь однорідності класичної функції Кобба–Дугласа дорівнює одиниці. А це означає, що при збільшенні обох виробничих ресурсів на одиницю обсяг продукції також збільшиться на одиницю. Отже, ефективність ресурсів у такому разі стала.
2.Практичні дослідження функції Кобба–Дугласа показали, що припущення про лінійну однорідність на практиці виконується рідко. Тому була запропонована виробнича функція загальнішого вигляду :
Y = aF a Lb. (2)
Сума параметрів (a + b) на відміну від попереднього випадку може бути як меншою, так і більшою від одиниці. Якщо (a + b) > 1, то темпи росту обсягу продукції вищі за темпи росту виробничих ресурсів, а якщо (a + b) < 1, то, навпаки, темпи росту продукції нижчі за темпи росту ресурсів.
Припустимо, що рівень кожного виробничого ресурсу збільшився на r %, тоді величини їх відповідно дорівнюватимуть 
і 
.
Обсяг продукції на основі виробничої функції запишеться так:
Звідси при a + b > 1 обсяг продукції зростає більш ніж на r %; при a + b < 1 – менш ніж на r%; при a + b = 1 продукція збільшиться на r %. Узявши частинні похідні від виробничої функції Кобба–Дугласа, одержимо :
; 
(3).
Це означає, що граничний приріст продукції за рахунок приросту кожного ресурсу визначається як добуток коефіцієнта еластичності на середню ефективність ресурсу. Параметр a у функції Кобба–
Дугласа залежить від вибраних одиниць вимірювання Y, F, L; водночас числове значення цього параметра визначається також ефективністю виробничого процесу. У цьому можна переконатись, порівнявши дві виробничі функції, які відрізняються одна від одної лише значенням параметра a.
Для фіксованих значень F і L тій функції, в якої більше числове значення параметра a, відповідає більше значення Y. Отже, і виробничий процес, який описується цією функцією, буде ефективнішим. Другі похідні функції Кобба–Дугласа мають такий вигляд:
; 
(4).
Беручи до уваги, що 0 < a < 1 і 0 < b < 1, YFF < 0 і YLL < 0, то справедливий висновок: при збільшенні ресурсів граничний приріст обсягу продукції зменшуватиметься. Якщо обсяг продукції у функції Кобба–Дугласа вважати сталим (const), то можна обчислити граничні норми заміщення ресурсів:
(5).
Звідси бачимо, що гранична норма заміщення ресурсів у функції
Кобба–Дугласа визначається як добуток співвідношень величин ресурсів та їх коефіцієнтів еластичності.
Швидкість зміни норми заміщення ресурсів у зв’язку зі зміною величини ресурсів обчислюється так:
; 
(6).
Мірою швидкості зміни h є еластичність заміщення ресурсів F і L, що визначається як відношення зміни величини ресурсів до зміни величини h:
(7).
Отже, еластичність заміщення в кожній точці кривої, що характеризує виробничу функцію Кобба–Дугласа, дорівнює одиниці.
Розглянемо тепер поводження функції при зміні масштабу виробництва. Для цього припустимо, що витрати кожного ресурсу виробництва збільшилися в l раз, тоді нове значення Y¢ визначатиметься так:
Y ¢ = a (l F)a (l L) b = la + bY (8).
Ступінь однорідності цієї функції дорівнює a + b. Якщо a + b = 1, то рівень ефективності ресурсів не залежить від масштабів виробництва. Якщо a + b < 1, то, як уже стверджувалось, з розширенням масштабів виробництва середні витрати ресурсів в розрахунку на одиницю продукції зменшуються, а при a + b > 1 – збільшуються. Причому ці властивості не залежать від числових значень F і L і зберігаються в кожній точці виробничої функції.
За припущення, що мета господарської діяльності – максимізація прибутку, можна проілюструвати інші властивості виробничої функції. Запишемо функцію прибутку:
П = bY r + 1 – wL – rF + l[ f (F, L) – Y ] .
Підприємець вибирає такі значення Y, L, F, які максимізують прибуток при обмеженнях, що накладаються виробничою функцією. Величини b, w, r – параметри функції прибутку, l – множник Лагранжа. Якщо виробничий процес у даному співвідношенні опису-
ється функцією Кобба–Дугласа, то можна записати умови максимізації прибутку:
; 
; 
,
l = (r + 1)P при r ¹ –1, де P = bY r.
Звідси обсяги ресурсів такі:
; 
.
У такому випадку максимальне значення випуску продукції, якщо a + b ¹ 1, можна записати так:
.
При r = 1згідно із записаними щойно умовами максимізації
одержимо :
; 
.
Отже, необхідні умови для забезпечення максимізації прибутку дають змогу визначити відповідні витрати робочої сили і основного капіталу. З розширенням масштабів виробництва ефективність витрат ресурсів падає, що відповідає максимізації прибутку в умовах досконалої конкуренції.
3.Найпридатнішими для побудови економетричної моделі продуктивності праці є такі аналітичні форми функцій:
· лінійна;
· степенева.
Запишемо загальний вигляд цих функцій:
лінійна – 
; (9)
степенева – 
, (10)
де Y – продуктивність праці, залежна змінна;
– чинники економічної діяльності, що впливають на продуктивність праці (незалежні або пояснювальні змінні);
u – стохастична складова, яка акумулює в собі вплив усіх випадкових чинників;
– параметри моделі продуктивності праці.
Лінійна форма моделі продуктивності праці відтворює адитивний закон формування продуктивності праці (рівень продуктивності праці є сума часток, що їх вносить у загальний рівень кожний чинник).
Степенева форма відтворює мультиплікативний закон формування продуктивності праці (рівень продуктивності праці є добуток часток, що їх вносить у загальний рівень кожний чинник).
Як було зазначено раніше, що узявши логарифми (натуральні або десяткові) лівої та правої частин виразу (4), можна перейти від степеневої до лінійно-логарифмічної моделі продуктивності праці:
,
тобто степенева функція реалізується як лінійна, якщо вихідні дані для побудови моделі брати не в абсолютних одиницях їх виміру, а в логарифмах.
3.Побудувати модель продуктивності праці – це означає оцінити параметри моделі 
.
1. Побудувати модель продуктивності праці, що характеризує залежність між продуктивністю праці та основними чинниками, які впливають на неї.
2. Оцінити статистичну значущість моделі та оцінок її параметрів і зробити висновки.
3. Обчислити всі економічні характеристики взаємозв’язку і зробити економічний аналіз.
4. Виконати прогноз продуктивності праці на наступні чотири місяці, якщо задані очікувані значення чинників, що впливають на неї.
Вихідні дані наведені в табл. 10.1.