Основні наслідки мультиколінеарності.

Шляхи звільнення від мультиколінеарності.

Алгоритм Фаррара-Глобера.

Ознаки мультиколінеарності.

Поняття мультиколінеарності.

План

Тема 3. Мультиколінеарність та її вплив на оцінки параметрів моделі

В економетричних дослідженнях дуже важливо з'ясувати, чи існують між пояснювальними змінними взаємозв'язки, які нази­вають мультиколінеарністю.

Мультиколінеарність означає існування тісної лінійної залежності, або сильної кореляці, між двома чи більше по­яснювальними змінними.

Вона негативно впливає на кількісні характеристики економет­ричної моделі або робить її побудову взагалі неможливою.

Так, мультиколінеарність пояснювальних змінних призводить до зміщення оцінок параметрів моделі, через що з їх допомогою не мо­жна зробити коректні висновки про результати взаємозв'язку залеж­ної і пояснювальних змінних. У крайньому разі, коли між поясню­вальними змінними існує функціональний зв'язок, оцінити вплив цих змінних на залежну взагалі неможливо. Тоді для оцінювання параметрів моделі метод найменших квадратів не придатний, оскільки матриця Х´X буде виродженою.

Нехай зв'язок між пояснювальними змінними не функціональний, проте статистично істотний. Тоді попри те, що оцінити параметри ме­тодом найменших квадратів теоретично можливо, знайдена оцінка може призвести до таких помилкових значень параметрів, що сама мо­дель стане беззмістовною.

1. Падає точність оцінювання, яка виявляється так:

а) помилки деяких конкретних оцінок стають занадто великими;

б) ці помилки досить корельовані одна з одною;

в) дисперсії оцінок параметрів різко збільшуються.

2. Оцінки параметрів деяких змінних моделі можуть бути незначущими через наявність їх взаємозв'язку з іншими змінними, а не тому, що вони не впливають на залежну змінну. У такому разі мно­жина вибіркових даних не дає змоги цей вплив виявити.

3. Оцінки параметрів стають досить чутливими до обсягів сукуп­ності спостережень. Збільшення сукупності спостережень іноді мо­же спричинитися до істотних змін в оцінках параметрів.

З огляду на перелічені наслідки мультиколінеарності при побу­дові економетричної моделі потрібно мати інформацію про те, що між пояснювальними змінними не існує мультиколінеарністі.

Ознаки мультиколінеарності такі.

1. Коли серед парних коефіцієнтів кореляції пояснювальних змінних є такі, рівень яких наближається або дорівнює множинному коефіцієнту кореляції, то це означає можливість існування мульти­колінеарності. Інформацію про парну залежність може дати симет­рична матриця коефіцієнтів парної кореляції або кореляції нульово­го порядку між пояснювальними змінними:

Проте, коли до моделі входять більш як дві пояснювальні змінні, то вивчення питання про мультиколінеарність не може обмежуватись інформацією, що її дає ця матриця. Явище мультиколінеарності в жодному разі не зводиться лише до існування парної кореляції між незалежними змінними.

Більш загальна перевірка передбачає знаходження визначника (детермінанта) матриці r, який називається детермінантом кореляції і позначається |r|. Числові значення детермінанта кореляції задовольняють умову: |r| [0,1].

2. Якщо |r| = 0, то існує повна мультиколінеарність, а коли |r| = 1, мультиколінеарність відсутня. Чим ближче |r| до нуля, тим певніше можна стверджувати, що між пояснювальними змінними існує мультиколінеарність. Незважаючи на те, що на числове значення |r| впливає дисперсія пояснювальних змінних, цей показник можна вважати точковою мірою рівня мультиколінеарності.

3. Якщо в економетричній моделі знайдено мале значення пара­метра â_k при високому рівні частинного коефіцієнта детермінації і при цьому F-критерій істотно відрізняється від нуля, то це та­кож свідчить про наявність мультиколінеарності.

4. Коли коефіцієнт частинної детермінації , який обчислено для регресійних залежностей між однією пояснювальною змінною та іншими, має значення, яке близьке до одиниці, то можна говорити про наявність мультиколінеарності.

5. Нехай при побудові економетричної моделі на основі покрокової регресії введення нової пояснювальної змінної істотно змінюєінку параметрів моделі при незначному підвищенні (або зниженні) коефіці­єнтів кореляції чи детермінації. Тоді ця змінна перебуває,очевидно,у лінійній залежності від інших, які було введено до моделі раніше.

Усі ці ознаки мультиколінеарності мають один спільний недолік: ні одна з них чітко не розмежовує випадки, коли мультиколінеарність істотна і коли нею можна знехтувати.

Найповніше дослідити мультиколінеарність можна за допомогою алгоритму Фаррара—Глобера. Цей алгоритм має три види статистич­них критеріїв, згідно з якими перевіряється мультиколінеарність усьо­го масиву незалежних змінних (χ² — «хі»-квадрат); кожної незалеж­ної змінної з рештою змінних (F-критерій); кожної пари незалежних змінних (t-критерій).

Усі ці критерії при порівнянні з їх критичними значеннями дають змогу робити конкретні висновки щодо наявності чи відсутності мультиколінеарності незалежних змінних.

Опишемо алгоритм Фаррара—Глобера.

Крок 1. Стандартизація (нормалізація) змінних.

Позначимо вектори незалежних змінних економетричної моделі через х₁, х₂, х₃... х_m . Елементи стандартизованих векторів обчислимо за формулами:

,

де n — число спостережень (і = ); m — число пояснювальних змінних (k = ); — середнє арифметичне k-ї пояснювальної змінної; — дисперсія k-ї пояснювальної змінної.

Крок 2.Знаходження кореляційної матриці, виходячи з двох ме­тодів нормалізації змінних

,

де X^* — матриця стандартизованих незалежних (пояснювальних) змінних; — матриця, транспонована до матриці X^*.

Крок 3. Визначення критерію χ² («хі»-квадрат):

,

де |r| — визначник кореляційної матриці r.

Значення цього критерію порівнюється з табличним при ступенях вільності і рівні значущості α. Якщо χ²_факт >χ²_табл, то в масиві пояснювальних змінних існує мультиколінеарність.

Крок 4. Визначення оберненої матриці:

.

Крок 5. Обчислення F-критеріїв:

,

де c_kk — діагональні елементи матриці С. Фактичні значення критеріїв порівнюються з табличними при n-m і m-1 ступенях вільності і рівні значущості α. Якщо F_{k факт} > F _табл., то відповідна k-та незалежна змінна мультиколінеарна з іншими.

Коефіцієнт детермінації для кожної змінної

.

Крок 6. Знаходження частинних коефіцієнтів кореляції:

,

де c_kj — елемент матриці С, що міститься в k-му рядку і j-му стовпці; c_kk і c_jj — діагональні елементи матриці С.

Крок 7. Обчислення t - критеріїв:

.

Фактичні значення критеріїв t_kj порівнюються з табличними при n-m ступенях вільності і рівні значущості α. Якщо t_kj(ф)>t_табл., то між незалежними змінними x_k і x_j існує мультиколінеарність.

Розглянемо застосування алгоритму Фаррара—Глобера для розв'язування конкретної задачі.

Приклад. На середньомісячну заробітну плату впливає ряд чинників. Вирізнимо серед них продуктивність праці, фондоміст­кість та коефіцієнт плинності робочої сили. Щоб побудувати економетричну модель заробітної плати від згаданих чинників згідно з методом найменших квадратів, потрібно переконатися, що продук­тивність праці, фондомісткість та коефіцієнт плинності робочої сили як незалежні змінні моделі — не мультиколінеарні. Вихідні дані наведені в табл. 1.

1. Вихідні дані

Дослідити наведені чинники на наявність мультиколінеарності.