Закон великих чисел

 

Принцип практичної впевненості Якщо у визначених умовах ймовірність події дуже мала, то при однократному їх виконанні можна бути упевненим у тому, що ця подія не відбудеться, і в практичній діяльності поводитися так, начебто вона є неможливою.

Ймовірність, якою вирішено зневажати в одному дослідженні, називається рівнем значимості. У статистиці звичайно рекомендується користатися рівнем значимості 0,05 при попередніх дослідженнях і 0,01 при остаточних висновках.

Під законом великих чисел розуміється сукупність положень, у яких стверджується, що з ймовірністю, як завгодно близької до одиниці, виконуються певні співвідношення.

 

Нерівність Чебишева Ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання по абсолютній величині менше додатного числа , не менше різниці між одиницею і дробом, чисельник якого – дисперсія випадкової величини , а знаменник – квадрат

.

Теорема Чебишева Якщо дисперсії попарно незалежних випадкових величин обмежені однією і тою ж константою , а число їх достатньо велике, то як би ні було мале додатне число , ймовірність того, що відхилення середньої арифметичної цих випадкових величин від середніх арифметичних їх математичних сподівань менше по абсолютній величині , буде як завгодно близька до одиниці

.

Іншими словами, середнє арифметичне достатньо великого числа незалежних випадкових величин втрачає характер випадкової величини. На теоремі Чебишева заснований вибірковий метод у статистиці, суть якого полягає в тому, що по порівняно невеликій випадковій вибірці судять про всю генеральну сукупність досліджуваних об’єктів.

 

Теорема Бернуллі Якщо в кожному з незалежних випробувань ймовірність появи події постійна, то як завгодно близька до одиниці ймовірність того, що відхилення відносної частоти від ймовірності по абсолютній величині буде як завгодно малим, якщо число випробувань достатньо велике

.

Іншими словами, при великому числі випробувань частість наближається до ймовірності.

Закон великих чисел лежить в основі різних видів страхування (страхування життя людини на всілякі терміни, майна й ін.) При плануванні асортименту товарів широкого споживання враховується попит на них населення. У цьому попиті виявляється дія закону великих чисел. Сума скінченного числа незалежних нормально розподілених випадкових величин розподілена по нормальному законі.