Конкретні закони розподілу
Кожен закон розподілу визначається густиною ймовірності, інтегральною функцією, числовими характеристиками та ймовірністю потрапляння на інтервал.
Біноміальний закон – це розподіл ймовірностей, які визначаються за формулою Бернуллі. Він розрахований на дискретні величини і визначається наступними характеристиками
,
,
.
Закон Пуассона – це розподіл ймовірностей, які визначаються за формулою Пуассона. Він характеризує дискретні величини і визначається такими величинами:
, ,
, , ,
.
У цьому законі є характерна особливість: і співпадають.
Закон рівномірного розподілу ймовірностей – це такий закон розподілу неперервної випадкової величини, усі значення якої лежать на відрізку і мають постійну густину ймовірності на цьому відрізку.
, , .
.
Нормальний розподіл – це розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, що описується диференціальною функцією
,
, .
Інтегральна функція нормального розподілу:
.
,
де – функція Лапласа (інтеграл ймовірностей).
Нормальною кривою називають графік густини нормального розподілу. Ймовірність заданого відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного сподівання:
.
Правило “трьох сигм”: | Практично достовірною є подія, яка складається в тому, що абсолютна величина відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного сподівання не перевершує потроєного середнього квадратичного відхилення . |
Показниковий (експоненціальний) розподіл описується диференціальною функцією
.
, , .
.
Особливість цього закону: співпадають і .
Приклад 16. | У цеху 4 мотори. Для кожного мотора ймовірність того, що він включений у даний момент, дорівнює 0,6. Скласти ряд розподілу числа моторів, включених у даний момент. Знайти |
Розв’язання.
Випадкова величина – число включених моторів – може приймати значення 0, 1, 2, 3, 4. Для кожного можливого значення випадкової величини знайдемо ймовірність за формулою Бернуллі:
Складемо ряд розподілу:
0,0256 | 0,1536 | 0,3456 | 0,3456 | 0,1296 |
Перевірка: 0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1296 = 1.
= .
; .
Приклад 17. | Дано інтегральну функцію: Знайти: а) диференціальну функцію; б) ймовірність потрапляння випадкової величини в інтервал (1/4; 2/3); в) г) побудувати графік і . |
Рішення.
а) Знайдемо диференціальну функцію:
б) .
в) ,
,
.
.
г) графіки функцій і мають вигляд (рис. 1, 2):
Рис. 1 Рис. 2